Задача 2. Дослідження руху матеріальної точки за допомогою теореми про зміну кількості руху та зміну кінетичної енергії

Теоретична довідка. Теорема про зміну кількості руху. Кількість руху матеріальної точки та імпульс сили. Теорема про зміну кінетичної енергії. Робота сили, прикладеної до матеріальної точки.

Кількістю руху матеріальної точки називають векторну величину, яка дорівнює добутку маси точки на вектор її швидкості :

(1.5)

Вектор , як і швидкість точки, направлений по дотичній до траєкторії руху. Розмірність .

Елементарним імпульсом сили називають векторну величину, що характеризує дію сили за елементарний проміжок часу . Обчислюють елементарний імпульс як добуток сили на час :

(1.6)

Повний імпульс сили за час дорівнює

(1.7)

Модуль імпульсу можна обчислити через його проекції на осі декартової системи координат так:

, (1.8)

де проекції дорівнюють

(1.9)

Напрямні косинуси імпульсу сили визначають за формулами:

(1.10)

Розмірність

Теорему про зміну кількості руху матеріальної точки в інтегральній формі (теорема імпульсів) формулюють так: зміна кількості руху матеріальної точки за деякий проміжок часу дорівнює імпульсу рівнодійної системи сил, прикладеної до точки, за цей самий проміжок часу:

, (1.11)

де - початкова швидкість точки.

У проекціях на осі декартової системи координат з формул (1.11) будемо мати:

(1.12)

Зауважимо, що теорему про зміну кількості руху доцільно використовувати в задачах динаміки, коли сили прикладені до матеріальної точки є постійними або залежать лише від часу.

Елементарна робота сили характеризує дію сили на елементарному переміщені точки її прикладання.

За векторного способу задання руху точки прикладання сили елементарна робота дорівнює скалярному добутку вектора сили на вектор елементарного переміщення точки її прикладання (рис. 1.5):

(1.13)

За координатного способу задання руху точки елементарна робота дорівнює:

(1.14)

де і - проекції векторів сили і елементарного переміщення на осі

Рис. 1.5

За натурального способу задання руху точки елементарна робота сили дорівнює:

(1.15)

де - проекція сили на дотичну до траєкторії руху точки ; - елементарне переміщення точки вздовж траєкторії руху.

Зауважимо, що елементарна робота не завжди є повним диференціалом деякої скалярної функції координат точки.

Оскільки (рис. 1.5), то з рівності (1.15) маємо

. (1.16)

З (1.16) видно, що елементарна робота додатна, коли кут є гострим, і від’ємна, коли кут є тупим. При , , а при , . За , , тобто, коли сила напрямлена перпендикулярно до переміщення , тоді елементарна робота дорівнює нулеві.

Повна робота сили характеризує дію сили на скінченому переміщенні точки її прикладання і дорівнює криволінійному інтегралу, взятому вздовж траєкторії руху від до (рис. 1.5). Тоді з рівностей (1.13) – (1.15) одержимо:

(1.17)

Розмірність

Потужність – це фізична величина, що характеризує швидкість виконання роботи силою, яка прикладена до матеріальної точки, і дорівнює скалярному добутку сили на швидкість точки:

(1.18)

Розмірність .