Розв’язування. 1. Записуємо співвідношення, яке виражає теорему про зміну кількості руху для тіла, що рухається на ділянці

1. Записуємо співвідношення, яке виражає теорему про зміну кількості руху для тіла, що рухається на ділянці . На цій ділянці тіло рухається прямолінійно в напрямку осі під дією сили тяжіння , сили тертя ковзання і реакції стінки трубки (рис. 1.10).

Рис. 1.10

Співвідношення, що випливає із теореми про зміну кількості руху в цьому випадку, згідно з першою з рівностей (1.12), запишемо так:

,

де - швидкості тіла в початковому положенні та кінцевому - проекція на вісь рівнодійної імпульсів сил, які діють на тіло.

Визначимо проекцію рівнодійної імпульсів сил, що діють на тіло, на ділянці . Проекція рівнодійної імпульсів сил дорівнює сумі проекцій імпульсів сил і на вісь , тобто

,

де - проекція сили тяжіння тіла на вісь ; - сила тертя; - реакція стінки трубки (нормальна сила); - тривалість руху тіла на ділянці .

Зауважимо, що імпульс нормальної сили дорівнює нулеві, тому що ця сила є перпендикулярною до напрямку руху тіла.

Оскільки , то вираз для можна записати так:

Обчислимо швидкість тіла в положенні . Для цього використаємо теорему про зміну кількості руху матеріальної точки та отримаємо

.

Після підстановки числових даних маємо

2. Записуємо співвідношення, що виражає теорему про зміну кінетичної енергії для тіла, що рухається на ділянці . Рух тіла на цій криволінійній ділянці відбувається під дією сили тяжіння (рис. 1.11). Початкова швидкість тіла

Рис. 1.11

Для визначення швидкості тіла в положеннях і використаємо формулу (1.23), яка виражає теорему про зміну кінетичної енергії матеріальної точки. Стосовно руху тіла на ділянці , його швидкість у положенні визначимо з рівняння

,

а швидкість у положенні - з рівняння

,

де - початкова швидкість тіла в положенні ; , - робота сили тяжіння, що діє на тіло під час його руху з положення в положення і відповідно.

Визначаємо роботу сили тяжіння. Як відомо, робота сили тяжіння не залежить від форми траєкторії руху тіла, а залежить лише від початкового і кінцевого його положення. В такому разі, згідно з формулою (1.20), робота сили тяжіння при переміщенні тіла з положення у положення чи дорівнює

де і - величини вертикальних переміщень тіла в положеннях і відповідно (рис. 1.11). Знак мінус вказує на те, що початкове положення тіла є нижче кінцевих положень та .

Обчислимо швидкості і тіла в положеннях і .

З урахуванням виразу для роботи для визначення швидкості тіла в положенні отримаємо:

.

Звідси

,

або

,

де - вертикальне переміщення тіла в положенні , яке визначаємо з прямокутного трикутника (рис. 1.11):

.

З урахуванням числових даних одержимо

Для визначення швидкості тіла в положенні з урахуванням виразу для роботи отримаємо:

.

Звідси:

де - вертикальне переміщення тіла в положенні . Визначимо його з рівнобедреного трикутника (рис. 1.11) за теоремою синусів:

Далі з прямокутного трикутника одержимо

Тоді швидкість тіла з урахуванням виразу для та числових даних дорівнює:

Для визначення найбільшого стиску пружини на ділянці (рис. 1.12) записуємо співвідношення, що виражає теорему про зміну кінетичної енергії тіла, що рухається на проміжку ділянки На цій ділянці відбувається прямолінійний рух тіла з початковою швидкістю , яка визначена вище, під дією: сил тяжіння ; реакції стінки трубки сили тертя сили пружності пружини .

Рис. 1.12

Для визначення величини максимального стиску пружини використаємо теорему про зміну кінетичної енергії матеріальної точки (1.23), яку для цього випадку запишемо так

,

де - швидкість тіла в положенні , в якому пружина максимально стиснута; - сумарна робота усіх сил, що діють на тіло під час його руху з положення у положення .

Визначаємо сумарну роботу прикладених до тіла сил під час його руху на проміжку довжиною . Цю роботу визначимо як суму робіт від кожної сили зокрема, тобто

,

де - робота сили тяжіння, яка на підставі формули (1.20), дорівнює

- робота сили тертя, яка на підставі формули (1.19), дорівнює

- робота сили пружності пружини, яка на підставі формули (1.21) за відсутності початкової деформації дорівнює

;

- робота реакції дорівнює нулеві, оскільки напрям її дії є перпендикулярним до напрямку руху тіла.

Обчислимо величину максимального стиску пружини . Виходячи з записаного вище рівняння з урахуванням виразів для робіт сил, а також, приймаючи до уваги, що при максимальному стиску пружини швидкість тіла в положенні дорівнює нулеві , будемо мати

або

Підставимо числові дані та одержимо

.

Звідси після обчислень маємо

.

Корені цього рівняння:

Оскільки найбільший стиск пружини не може бути від’ємним, то візьмемо додатний корінь

.