Приклади обчислення роботи сили

Робота сталої сили на прямолінійному переміщені точки її прикладання (рис. 1.6) згідно з формулами (1.16) і (1.17) дорівнює

. (1.19)

Рис. 1.6

Робота сили тяжіння. Нехай матеріальна точка рухається по деякій траєкторії з положення в положення поблизу поверхні Землі під дією сили тяжіння (рис. 1.7).

Рис. 1.7

Проекції сили на координатні осі дорівнюють: . Тоді на підставі формули (1.17) будемо мати:

(1.20)

де - величина вертикального переміщення точки прикладання сили тяжіння.

Отже, робота сили тяжіння дорівнює взятому із знаком плюс або мінус добутку модуля сили на вертикальне переміщення точки її прикладання. Робота додатна, якщо початкова точка розміщена вище ніж кінцева і навпаки. Робота сили тяжіння не залежить від форми траєкторії, по якій рухається точка її прикладання.

Робота лінійної сили пружності. Розглянемо вантаж , що лежить на горизонтальній площині і прикріплений до вільного кінця деякої пружини (рис. 1.8).

Рис. 1.8

Початкове положення точки, що відповідає недеформованій пружині, позначимо на площині точкою . Якщо відтягнути вантаж від зрівноваженого положення , то пружина видовжиться на величину і тоді на вантаж буде діяти сила пружності пружини , яка буде направлена до точки . Величина цієї сили згідно з законом Гука пропорційна видовженню пружини і дорівнює ( - коефіцієнт жорсткості пружини).

Роботу, яку виконує пружна сила при переміщенні вантажу з положення в положення , визначимо за формулою (1.17). В даному випадку проекції сили на координатні осі такі: . Отже

. (1.21)

В одержаній формулі є початковим видовженням пружини, а - кінцевим видовженням пружини. Отже, робота пружної сили дорівнює половині добутку коефіцієнта жорсткості на різницю квадратів початкового і кінцевого видовжень (чи вкорочень) пружини.

Кінетичною енергією матеріальної точки називають скалярну величину, яка дорівнює половині добутку маси точки на квадрат її швидкості :

(1.22)

Розмірність =Дж = .

Теорему про зміну кінетичної енергії матеріальної точки в інтегральній формі формулюють так: зміна кінетичної енергії матеріальної точки на кінцевому переміщенні дорівнює роботі всіх сил, що діють на точку, на тому самому переміщенні:

, (1.23)

де - відповідно початкова та кінцева швидкість точки.

Приклад 2.1. Тіло масою , яке вважають матеріальною точкою, рухається з положення з початковою швидкістю усередині порожнистої трубки, яка розташована у вертикальній площині (рис. 1.9). Прямолінійна ділянка трубки нахилена під кутом до горизонтальної осі. Криволінійна ділянка трубки має форму дуги кола радіуса і положення тіла на цій ділянці задане кутом .

Рис. 1.9

Рух тіла на прямолінійних ділянках трубки відбувається під дією сил тяжіння та сил тертя ( - реакція стінки трубки; - коефіцієнт тертя між тілом та стінкою трубки). Крім того, на ділянці на тіло додатково діє сила пружності пружини, жорсткість якої дорівнює при цьому початкова деформація пружини є відсутньою. Механічними процесами, які виникають у пружині після максимального її стиску, нехтуємо.

На криволінійній ділянці трубки тіло рухається тільки під дією сил тяжіння .

Тривалість руху тіла на ділянці трубки дорівнює .

Визначити швидкості тіла в положеннях та найбільший стиск пружини.

План розв’язування задачі

1. На підставі теореми про зміну кількості руху матеріальної точки обчислити швидкість тіла в положенні на ділянці .

2. На підставі теореми про зміну кінетичної енергії матеріальної точки обчислити:

а) швидкості і тіла в положеннях і на ділянці

б) найбільший стиск пружини на ділянці .