Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Остаток ряда и его оценка
|
|
Числовой ряд полученный из ряда u1+u2+…+un+un+1+… отбрасыванием его n-первых членов называется остатком или n-ным остатком этого ряда и обозначается.
r n = u n +un+1+ un+2+ un+3+…= 
n
Если числовой ряд сходится, то разность
rn = S - Sn называется n -м остатком ряда.
Таким образом, rn представляет собой сходящийся числовой ряд:
rn = un+1+un+2+….
Заметим, что 
rn= (S-Sn)=S-S=0.
Абсолютная погрешность при замене суммы ряда S его частичной суммой Sn равна | rn|=|S-Sn|. Таким образом, если требуется найти сумму ряда с точностью до ε > 0, то надо взять сумму такого числа n первых членов ряда, чтобы выполнялось условие |rn|< ε. Однако в общем случае находить точно Rn не удаётся.
Теорема 11. (Об оценке остатка знакочередующегося числового ряда)
Если знакочередующийся числовой ряд сходится по признаку Лейбница, то его n -й остаток по абсолютной величине не превосходит модуля (n +1)-го члена ряда.
Доказательство. Пусть ряд u1-u2+u3-u4+…+(-1)n-1.un+… сходится по признаку Лейбница. Тогда n -й остаток ряда Rn=±(un+1-un+2+un+3…) сам является суммой знакочередующегося числового ряда и по теореме Лейбница |Rn|≤ |un+1 |. Теорема доказана.