Ряд Фурье. Коэффициенты Фурье

Тригонометрическим рядом Фурье функции называют функциональный ряд вида:

Где

Числа , и () называются коэффициентами Фурье функции . Формулы для них можно объяснить следующим образом. Предположим, мы хотим представить функцию в виде ряда (1), и нам надо определить неизвестные коэффициенты , и . Если умножить правую часть (1) на COS (KX) и проинтегрировать по промежутку , благодаря ортогональности в правой части все слагаемые обратятся в нуль, кроме одного. Из полученного равенства легко выражается коэффициент a_k. Аналогично для b_k.Ряд (1) сходится к функции в пространстве . Иными словами, если обозначить через частичные суммы ряда (1):

.

Иногда используются альтернативные формы записи для разложения в ряд Фурье. Заменяя a_n и b_n новыми переменными d_n и φ _n или d_n и θ _n, где

можно, соответственно, записать