Доказательство необходимости и достаточности разложения функции в ряд Тейлора (Теорема об условии разложимости функции в ряд Тейлора).

Теорема Тейлора: Пусть функция f(x) имеет в точке х = а и некоторой ее окрестности производные порядка до (n+1) включительно.{ Т.е. и все предыдущие до порядка n функции и их производные непрерывны и дифференцируемы в этой окрестности}.

2) Пусть х- любое значение из этой окрестности, но х а.

Тогда между точками х и а найдется такая точка, что справедлива формула:

это выражение называется формулой Тейлора, а выражение:

называется остаточным членом в форме Лагранжа.

Доказательство. Представим функцию f(x) в виде некоторого многочлена P_n(x), значение которого в точке х = а равно значению функции f(x), а значения его производных равно значениям соответствующих производных функции в точке х = а.

Многочлен P_n(x) будет близок к функции f(x). Чем больше значение n, тем ближе значения многочлена к значениям функции, тем точнее он повторяет функцию.

Представим этот многочлен с неопределенными пока коэффициентами:

Для нахождения неопределенных коэффициентов вычисляем производные многочлена в точке х = а и составляем систему уравнений:

(3)

Решение этой системы при х = а не вызывает затруднений, получаем:

f (a)=C₀ ; f^´ (a)=С₁; f´ ´ (a)= 2× 1С_2; f ´ ´ ´ (a)=3× 2× 1С₃;

………………………………………………………..

f ⁽ⁿ⁾(a)= n(n-1)(n-2)…2× 1C_n

Подставляя полученные значения Ci в формулу (2), получаем:

Как было замечено выше, многочлен не точно совпадает с функцией f(x), т.е. отличается от нее на некоторую величину. Обозначим эту величину R_n+1(x). Тогда:

f(x) = P_n(x) + R_n+1(x) Теорема доказана!

50. Разложение в ряд Маклорена функции f(x) = е^Х

Пусть f(x) = е^Х

Имеем:

а) 1'(х) = е^Х, f" (x) = е^Х, …, f⁽ⁿ⁾⁽x) = е ^Х, …;

б) f(0) = 1, f '(0) = 1,..., f⁽ⁿ⁾(0) = 1,...;

в)

R=lim_n-∞ | a_n/a_n+1 | = lim_n-∞ | (n+1)! / n! | = lim_n-∞ (n+1) = ∞ т. е. ряд сходится в интервале (-∞; ∞);

г) для всех х ∈ (-R; R) имеем |f⁽ⁿ⁾(x) |= е^x < e^R = М, т. е.

все производные в этом интервале ограничены одним и тем же числом

М = e^R. Следовательно, по теореме 64.2 lim R_n(х) = 0. Таким образом

51. Разложение в ряд Маклорена функции f(x) = sin x

f(x)=sinx f(0)=0

f`(x)=sin(x+ ) f`(0)=1

f``(x)=sin(x+ ) f``(0)=0

(x)=sin(x+ ) =

Т.к. производная n-го порядка

= ≤ 1, то по теореме можно сказать, что для формально составленного ряда суммой явл.

Sinx=

Выражается в радианах

53. Разложение в ряд Макларена функции f(x) = ln(1+x); f(x) = ln(1–x);

f(x) = ln

f(x) = ln(1+x)

Докажем формулу. Пусть f(x) = ln(1+x).

Рассмотрим равенство

справедливое для всех х ε (–1; 1). Используя свойство 4 степенных

рядов, проинтегрируем данный ряд на отрезке [0; х], х ε (–1; 1):

или

(*)

Можно показать, что это равенство справедливо и для х = 1.

f(x) = ln(1-x)

В формуле (*) заменим x на (–x). Тогда получим

(**)

Можно показать, что это равенство несправедливо для х =1 и справедливо для x= –1.

f(x) = ln

Упростим:

Из формул (*) и (**) получим:

Можно показать, что это равенство несправедливо для х =1 и x= –1.

54. Разложение в ряд Макларена функции f(x) = arctgx.

Докажем формулу. Пусть f(x) = arctgx.

Положив в формуле

что α = –1 и заменив х на х², получим

Тогда

или

Можно показать, что равенство справедливо и при х=±1, т. е. при всех

х ε [-1; 1].

55. Разложение в ряд Маклорена функции f(x) = (1+x)^m

Докозательство. Пусть f(x) = (1+x)^m где m R

Имеем:

А) , ,.., ;

Б)

В)

г)

т. е. составленный для функции ряд сходится в интервале (-1; 1).

Можно показать, что и в данном случае, т.е. при остаточный член

R_n(x) стремится к нулю при

Ряд называется биномиальным. Если m = n N, то все члены ряда с (n + 1)-го номера равны 0, так как содержат множитель . B этом случае ряд представляет собой формулу бинома Ньютона: