Условия Дирихле. Теорема Дирихле

Теорема Дирихле. Пусть 2 -периодическая функция f(x) на

отрезке [- ; ] удовлетворяет двум условиям:

1. f(x) кусочно-непрерывна, т. е. непрерывна или имеет конечное

число точек разрыва I рода;

2. f(x) кусочно-монотонна, т. е. монотонна на всем отрезке, либо

этот отрезок можно разбить на конечное число интервалов так, что

на каждом из них функция монотонна.

Тогда соответствующий функции f(x) ряд Фурье сходится на этом

отрезке и при этом:

1. В точках непрерывности функции сумма ряда S(x) совпадает с

самой функцией: S(x) = f(x);

2. В каждой точке хо разрыва функции сумма ряда равна

S(х) =

т. е. равна среднему арифметическому пределов функции f(x) справа

и слева;

3. В точках х = - и х = (на концах отрезка) сумма ряда равна

S( - ) = S( ) = (f(- + о) + f( - о))/2

Таким образом, если функция f(x) удовлетворяет условиям 1 и 2

теоремы Дирихле, то на отрезке [- ; ] имеет место разложение

причем коэффициенты вычисляются по формулам

. Это

равенство может нарушиться только в точках разрыва функции f(x)

и на концах отрезка [- ; ].