Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Дискретные и непрерывные случайные величины. Закон распределения. Интегральная функция распределения. Функция плотности распределения вероятностей.
Дискретные случайные величины. Случайная величина, обозначаемая , называется дискретной, если она принимает конечное либо счетное множество значений, т.е. множество -конечное, либо счетное. Законом распределения дискретной случайной величины называется совокупность пар чисел , где - возможные значения случайной величины, а - вероятности, с которыми она принимает эти значения, причем Зная закон распределения случайной величины, можно вычислить функцию распределения: где суммирование распространяется на все значения индекса , для которых Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений всех ее возможных значений и соответствующих им вероятностей: Модой дискретной случайной величины, обозначаемой называется ее наиболее вероятное значение. Медианой случайной величины называется такое ее значение , для которого одинаково вероятно, окажется ли случайная величина меньше или больше , т.е. Дисперсией случайной величины называется математическое ожиданиеквадрата ее отклонения: Дисперсия дискретной случайной величины вычисляется по формуле: или Средним квадратическим отклонением (стандартом) случайной величины называется арифметический корень из дисперсии, т.е. Начальным моментом порядка случайной величины называется математическое ожидание -й степени этой случайной величины, т.е. Для дискретной случайной величины Центральным моментом порядка случайной величины называется математическое ожидание -й степени отклонения , т.е. . Для дискретной случайной величины Биноминальным называют закон распределения дискретной случайной величины - числа появлений событий в независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна ; вероятность возможного значения (числа появлений события) вычисляют по формуле Бернулли: , где . При этом матема-тическое ожидание и дисперсия соответственно равны: Наивероятнейшее число появлений событий в независимых испытаниях определяется по формуле: Если число испытаний велико, а вероятность появления события в каждом испытании мала, то вероятность того, что некоторое событие появиться раз в испытаниях, приближенно вычисляется по формуле: , где - число появлений событий в независимых испытаниях, - среднее число появлений событий в испытаниях. Случайная величина, характеризующая число наступлений события в независимых испытаниях, распределена по закону Пуассона, если Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, распределенной по закону Пуассона: Геометрическое распределение возникает в том случае, когда производится серия испытаний до первого появившегося события . Тогда распределение случайной величины имеет вид:
Вероятность появления события в каждом испытании постоянна и равна , т.е. и Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, распределенной по геометрическому закону, соответственно равны: Гипергеометрический закон распределения используется при проверке качества продукции. Проверяется изделий, и известно, что среди этих изделий имеется изделий, которые обладают некоторым признаком , а остальные - признаком . Для проверки производится выборка, содержащая изделий. Определить вероятность того, что среди этих изделий изделий обладают некоторым признаком . Для определения вероятности используется классический способ задания вероятности. Число элементарных событий будет определяться числом сочетаний и , где - событие, состоящее в том, что в выборке объектов обладают признаком . Закон распределения дискретной случайной величины , характеризующей число появлений события раз в испытаниях имеет вид: · Если
· Если
Функция гипергеометрического распределения имеет вид Гипергеометрический закон стремится к биноминальному закону распределению, если при и его числовые характеристики следующие
Непрерывные случайны величины. Случайная величина называется непрерывной, если существует такая неотрицательная, интегрируемая по Риману функция , называемая плотностью распределения вероятностей, что при всех Множество значений непрерывнойслучайной величины - некоторый числовой интервал. Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величиныХ называют предел, если он существует, отношения вероятности попадания случайной величины Х на отрезок , примыкающей к точке , к длине этого отрезка, когда последний стремится к 0, т.е. . Свойства плотности распределения вероятностей: - непрерывная или кусочно непрерывна функция; Функция распределения случайной величины – это функция действительной переменной , определяющая вероятность того, что случайная величина принимает значение меньше некоторого фиксированного числа , т.е.
Математическое ожидание и дисперсия случайной величины: ; ; Модой непрерывной случайной величины называется действительное число , определяемое точка максимума плотности распределения вероятностей . Медианой непрерывной случайной величины называется действительное число , Удовлетворяющее условию , т.е. корень уравнения Начальный момент го порядка: Центральный момент го порядка: Случайная величина называется центрированной, если Если же для случайной величины то она называется центрированной и нормированной (стандартизованной) случайной величиной. Законы распределения непрерывной случайной величины. Равномерное распределение: Пусть плотность вероятности равна нулю всюду, кроме отрезка , на котором все значения случайной величины Х одинаково возможны. Выражение плотности распределения вероятностей имеет следующий вид: Функция равномерного распределения задается формулой: Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение соответственно равны: Показательным (экспоненциальным) называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины , которое описывается функцией плотности вероятности: где постоянная и называется параметром экспоненциального распределения. Функция распределения случайной величины, распределенной по показательному закону, имеет вид: Математическое ожидание . Дисперсия , среднее квадратическое отклонение .
11. Числовые характеристики случайной величины: математическое ожидание, дисперсия, среднеквадратическое отклонение, мода, медиана. Математическое ожидание дискретной случайной величины есть сумма произведений всех её возможных значений на их вероятности: M(X) = x1p1 + x2p2 +... + xnpn Свойства математического ожидания. 1) Математическое ожидание постоянной величины равно самой величине: М(С) = С 2) Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: М(СХ) = С·М(Х) 3) Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых: М(Х1 + Х2 + …+ Хn) = М(Х1) + М(Х2) +... + М(Хn) 4) Математическое ожидание произведения взаимно независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий сомножителей: М(Х1 · Х2 ·... · Хn) = М(Х1) · М(Х2) ·... · М(Хn)
Дисперсия дискретной случайной величины есть математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания: D(X) = (x1 - M(X))2p1 + (x2 - M(X))2p2 +... + (xn- M(X))2pn = x21p1 + x22p2 +... + x2npn - [M(X)]2 Свойства дисперсии. 1) Дисперсия постоянной величины равна нулю: D(С) = 0 2) Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, предварительно возведя его в квадрат: D(СХ) = С2 · D(Х) 3) Дисперсия суммы (разности) независимых случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых: D(Х1 ± Х2 ±... ± Хn) = D(Х1) + D(Х2) +... + D(Хn) Среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины, оно же стандартное отклонение или среднее квадратичное отклонение есть корень квадратный из дисперсии: σ (X) = √ D(X) Мода дискретной случайной величины Mo(X) - это значение случайной величины, имеющее наибольшую вероятность. На многоугольнике распределения мода - это абсцисса самой высокой точки. Бывает, что распределение имеет не одну моду. Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений всех ее возможных значений и соответствующих им вероятностей: Модой дискретной случайной величины, обозначаемой называется ее наиболее вероятное значение. Медианой случайной величины называется такое ее значение , для которого одинаково вероятно, окажется ли случайная величина меньше или больше , т.е. Дисперсией случайной величины называется математическое ожиданиеквадрата ее отклонения: Дисперсия дискретной случайной величины вычисляется по формуле: или Средним квадратическим отклонением (стандартом) случайной величины называется арифметический корень из дисперсии, т.е.
|