Доверительный интервал для выборочного среднего. Анализ однородности выборки.

Доверительный интервал случаен (зависит от конкретных выборок): случайно его положение на числовой оси и случайна его длина.

При , а при

Доверительный интервал для оценки математического ожидания

Здесь рассматривается как аргумент табулированной функции распределения Лапласа (нормальной!), при котором она равна значению : .

Значение генерального среднеквадратического отклонения редко известно, поэтому обычно в формуле используют оценку среднеквадратического отклонения, т.е. .

Пример: ~ Найти доверительный интервал для оценки неизвестного , при выборочном среднем , если объем выборки n=36, а .

Замечание. Практически важной может быть задача определения объема выборки, которая обеспечит заданный радиус доверительного интервала: .

Более точные результаты при малых объемах выборки и неизвестном дает использование распределения Стьюдента: для переменной - , имеющей распределение Стьюдента с степенями свободы отклонение ( ~ ) Тогда доверительный интервал при неизвестном среднеквадратическом отклонении определяется следующим образом: , где аргумент табулированного распределения Стьюдента.

Доверительные интервалы оценки среднеквадратического отклонения

Пусть вновь ~ , и - неизвестно, а . Тогда

где .

Доказано, что имеет табулированное распределение , независящее от параметров и исходного распределения, но зависящее от объема выборки и доверительной вероятности. Вычислив по выборке , находим по таблице , определяем границы доверительного интервала.