Задачи по Гидромеханике

Задача 1.1 Вычислить увеличение объема воды в стакане при повышении температуры от 20˚ С до 80˚ С в нормальных условиях.

Решение. По определению, температурное расширение - свойство жидкостей изменять объем при изменении температуры.

Температурный коэффициент b_T объемного расширения, представляет собой относительное изменение объема жидкости при изменении температуры на единицу (на 1^oС) и при постоянном давлении, т.е.

Из справочных данных находим значение температурного коэффициента при температуре 20˚ С:

Следовательно,

Задача 1.2 Вычислить уменьшение объема воды при температуре 20˚ С в условиях всестороннего объемного сжатия при давлении Р ₁=50 атм. Первоначальный объем воды при начальном атмосферном давлении составляет Ω =1 л.

Решение. По определению, сжимаемость - свойство жидкостей изменять объем при изменении давления - характеризуется коэффициентом объемного сжатия (сжимаемости) b_W, Па^-1, представляющим собой относительное изменение объема жидкости DW/W, м³/м³, при изменении давления DP, Па:

. (1)

Следовательно,

; . (2)

Из справочных данных находим значение модуля объемной упругости воды при температуре 20˚ С: Е₀ =2, 11∙ 10⁹Па.

Коэффициент объемного сжатия обратно пропорционален модулем объемной упругости жидкости E_o, Па:

(3)

Поэтому

(4)

Расчет: .

Задача 1.3 Модуль объемного сжатия стали составляет Е₀ =2, 0∙ 10¹¹Па. Вычислить изменение объема при условиях предыдущей задачи.

Решение:

Задача 1.4. Вычислить плотность воды при ее объемном сжатии под давлением 50 атм. Температура воды 20˚ С.

Решение. Плотность воды в нормальных условия составляет ρ =998, 26 кг/м³.

Изменение плотности воды вычисляется из закона Гука:

Расчет: кг/м³

Следовательно, плотность воды при давлении 50 атм составляет:

998, 26+2, 272=1000, 532 кг/м³.

Задача 1.5. Нефть сжимается в толстостенной цилиндрической трубе. Вычислить модуль объемного сжатия нефти Е ₀, если при увеличении давления Δ Р на промежуточную жидкость ПЖ от 0 до 50 ат, уровень А-А ртути поднялся на величину Δ h =3, 7 мм. Первоначальная высота столба нефти была h =100 см.

Рисунок

Решение. Относительное изменение объема нефти под давлением Δ Р =50 ат составляет

.

Следовательно, модуль объемного сжатия нефти должен удовлетворять условию

.

.

Задача 1.6 Винтовой пресс работает на масле с Е ₀ =1, 6 ГПа. Определить на сколько оборотов надо повернуть маховик винта, чтобы поднять давление на Δ Р =10 ат, если начальный объем рабочей камеры составляет Ω =628 см³. Диаметр плунжера d =20 мм, шаг винта Δ l =0, 5мм.

Рисунок

Решение. Для того чтобы поднялось давление в масле его надо сжать на величину объема

С другой стороны, при повороте винта на n оборотов изменение объема составляет

.

Приравнивая равные объемы, получим

.

Задача. Найти плотность морской воды на глубине h =5000 м, если ее плотность на поверхности ρ ₀ = 1030 кг/м³, а модуль упругости составляет Е ₀ =2, 083 ГПа. (При вычислении гидростатического давления морской воды ее плотность принять равной плотности воды на поверхности).

Решение. Относительное изменение объема при сжатии

Величина гидростатического давления на глубине,

Δ P = ρ ₀ g h,

Плотность воды

Вследствие сжимаемости воды происходит изменение ее плотности пропорционально изменению ее объема (при неизменной массе), тогда

Ответ: ρ = 1055 кг/м³.

Задача 1.7. Для измерения глубины морского дна служит прибор, состоящий из стальной банки с двойным дном. Верхняя ее половина заполняется дистиллированной водой в объеме , нижняя - ртутью. При опускании прибора морская вода заходит через трубку в нижний сосуд и выдавливает ртуть через клапан в верхнюю камеру. Определить какое количество ртути (в кг) пройдет в верхний сосуд, если глубина моря 10 км Средний удельный вес воды до глубины принять равным 1050 кг/м³. Модуль объемного сжатия: для воды Е ₀=2, 1∙ 10⁹ Па, для ртути Е _рт= 2, 51∙ 10¹⁰Па.

Примечание: о глубине судят по массе ртути в верхнем сосуде, которую определяют взвешиванием на поверхности (после подъема прибора).

Рисунок – Прибор для измерения глубины морского дна

Решение Избыточное давление воды на глубине Н составляет

P=ρ gH =1050∙ 9, 81∙ 10000=1, 03∙ 10⁸ Па.

Под действием этого давления вода уменьшится в объеме на величину

.

Следовательно, столько же по объему ртути пройдет через клапан в верхнюю камеру. Плотность ртути на глубине составляет

Тогда масса ртути, которая пройдет в верхний сосуд составит

m=ρ _рт ∙ Δ Ω =13561∙ 39, 2∙ 10^-6=0, 535 кг

Задача 1.8 При гидравлическом испытании системы объединенного внутреннего противопожарного водоснабжения допускается падение давления в течение 10 мин на Δ P =-497104Па. Определить допустимую утечку (в литрах в сек) при испытании системы вместимостью Ω =80 м³, температура воды в системе t = 30 ⁰C.

Решение. Если давление воды понизилось на величину Δ P, то этот процесс сопровождается уменьшением объема воды в рукаве на величину Δ Ω. В изотермическом процессе объемное расширение пропорционально изменению давления:

Следовательно, допустимая утечка воды составляет

Задача 1.9. Атмосферное давление при температуре 0˚ С равно 775 мм. рт. ст. Выразить эту величину в единицах СИ. Плотность ртути ρ _рт =13595 кг/м³.

Решение. Атмосферное давление поддерживает заданную высоту Н столба ртути в ртутном барометре. Поэтому

Расчет: Па.

Задача 1.10. Железные цилиндры массой 460 кг каждый находятся в озере. Один цилиндр подвешен на тросе, а другой стоит вертикально на дне озера. Чему равна сила натяжения троса? Какую силу надо приложить, что бы оторвать цилиндр от дна? Глубина озера H=6 м, высота цилиндра l =30 см, диаметр d =50 см.

Рисунок 1

Решение. В первом случае на цилиндр массой m объемом V действуют две силы:

сила тяжести , и выталкивающая сила Архимеда .

Следовательно, сила натяжения троса составляет

, (1)

Или (2)

Расчет: Н

Во втором случае на цилиндр действуют сила тяжести и сила давления воды, прижимающая его ко дну:

(3)

Расчет: Н.

Задача 1.11 Деревянный цилиндр, плавая в воде, возвышается над ее поверхностью на 0, 45 от своего радиуса. Найти плотность дерева.

Рисунок - Деревянный цилиндр в воде

Решение. Объем цилиндрического сегмента длинной l, возвышающегося над водой на величину Δ h, равен

(1)

Объем погруженной в воду части

V_погр=V_ц - V_сегм (2)

где V_ц – объем цилиндра, .

По закону Архимеда

(3)

Следовательно,

(4)

Подставляя численные значения r =1; h =0, 45 получим:

кг/м³

Задача 1.12 Нефть течет по трубопроводу со средней скоростью V=1, 73 м/с. Расход нефти составляет Q=1500 т/ч. Определить диаметр трубопровода.

Решение. Уравнение неразрывности потока имеет вид

(1)

Следовательно,

м.

Задача 1.13 Найти силу действующую на ворота шлюза. Ширина ворот b = 6 м, перепад уровней воды на верхнем и нижнем бьефе составляет h = 4 м.

Решение. Сила, действующая на ворота шлюза, равна произведению среднего давления на площадь ворот. Поскольку гидростатическое давление прямо пропорционально глубине, то среднее давление равно половине максимального. Следовательно,

(1)

Расчет