Гидростатическое равновесие

Задача 5.1 Ртуть налита в U –образную стеклянную трубку одинакового диаметра (см. рисунок). Левый конец трубки находится при комнатной температуре, а правый – нагрели до 100 ⁰С. Найти разность уровней ртути в трубках, если высота в левом колене h ₀=0, 9 м. Расширением стекла пренебречь. Принять для ртути β _t = 1, 8 10^-4 К^-1.

Рисунок - U –образная стеклянная трубка со ртутью

Решение. Условие равновесия левой и правой частей трубки

.

Тогда разность уровней равна

Известно, что плотность жидкости в зависимости от температуры определяется по формуле Д.И. Менделеева

.

Следовательно,

Расчет:

Задача 5.2 Посередине барометрической трубки имеется столбик воздуха. При температуре Т ₀ = 273К высота столбика составляет h ₀ =10 см. Изменится ли высота столбика и на сколько при увеличении температуры на Δ Т =20 К?

Рисунок – Столбик воздуха в барометрической трубке

Решение. Рассмотрим уравнение состояния идеального газа объемом V ₀ при температуре Т₀:

,

где Р – давление, которое испытывает газ (столбик воздуха), Па;

m – масса столбика воздуха, кг;

μ – молекулярный вес воздуха, μ =29∙ 10^-3 кг/моль;

R – универсальная газовая постоянная, R=8, 31Дж/(моль∙ К).

При температуре (Т ₀+ Δ Т) столбик воздуха вследствие расширения займет объем V ₁, величина которого также определяется из уравнения состояния газа:

.

Из сопоставления уравнений для двух состояний столбика воздуха получим:

,

Откуда с учетом того, что отношение объемом пропорционально отношению высот столбика воздуха в двух состояниях

,

найдем приращение высоты столбика воздуха после повышения температуры:

.

Высота столбика воздуха после повышения температуры:

h +Δ h =10+0, 683=10, 683 см.

Вопросы для дискуссии:

- Какие силы удерживают столбик воздуха в состоянии равновесия?

- Вычислить максимальный диаметр барометрической трубки, при котором невозможна задержка воздуха в пространстве между жидкостью.

Вопрос Копылова Д.В. (СПСиШ в 2008 г.).: «А почему этот столбик воздуха не движется вверх?»

Задача Копылова (СПСиШ-2008г.).:. Определить максимальный диаметр барометрической трубки, заполненной водой (ртутью), посредине которой удерживается столбик воздуха высотой, превышающей ее диаметр.

Задача 5.3 В U-образной трубке находится ртуть. Затем в одно из колен налили воду, а в другое глицерин, причем поверхность раздела ртути с водой и глицерином находится на одном уровне. Определить высоту столба воды h_в, если высота столба глицерина h_г = 18 см.

рисунок

Решение Из условия равновесия сообщающихся сосудов:

Следовательно,

Задача 5.4. Со дна озера глубиной Н =5м отрывается пузырек воздуха радиуса r ₁=5 мм и поднимается вверх. Определить радиус этого пузырька r ₀ в непосредственной близости от поверхности воды, если атмосферной давление равно р ₀=10⁵ Па.

Рисунок -

Решение. Согласно уравнению гидростатики давление воды р ₁ на глубине Н

где ρ – плотность воды, g – ускорение свободного падения.

Такое же давление имеет пузырек воздуха радиусом r ₁ на дне озера.

Для параметров состояния газа на дне озера и на поверхности можно записать

,

где V₁ и V₀ – объем пузырька на дне озера и у поверхности воды: ; .

Следовательно

Расчет

Задача 5.5. Чему равна пьезометрическая высота, если манометр, присоединенный к цилиндру с машинным маслом, показывает величину избыточного давления в 10 бар?

Решение.

Задача 5.6 Барометрическая трубка погружена в чашку с ртутью (рис.2.5). Определить величину абсолютного р_абс и манометрического давления р_ман на глубине Н = 40 см под свободной поверхностью ртути. Барометрическое давление соответствует высоте h _б = 750 мм рт. ст. Чему равно барометрическое давление в метрах столба воды?

Рис.2.5

Решение. Манометрическое (избыточное) давление на глубине Н в случае открытой чашки с ртутью численно будет равно весовому давлению:

р_ман = р_вес = ρ _ртgH = 13500· 9, 81·0, 4 = 52970 Н/м² ≈ 53, 0 кПа

Абсолютное давление на глубине Н в барометрической трубке равно сумме барометрического давления р_б и манометрического давления р_ман

р _абс = р _б + р _ман

Зная высоту поднятия ртути в трубке h, находим величину барометрического давления:

р_б = ρ _рт gh = 13500· 9, 81· 750 · 10^-3 = 99330 Н/м² = 99, 33 кПа

Величина абсолютного давления:

р _абс = 99, 33 + 53, 0 = 153, 53 кПа

Для выражения барометрического давления в метрах ртутного столба следует исходить из соотношения плотностей ртути и воды (в задачах принимаем плотность воды ρ =1000 кг/м³):

h _б1 = р _б · ρ _рт/ρ = 750· 10^-3 ·13, 5 =10, 125 м вод.ст.

Задача 5.7 Определить высоту поднятия жидкости в открытом пьезометре h_p, если свободная поверхность жидкости в резервуаре испытывает давление Р₀=1, 5 Бар. Атмосферное давление Р_атм=1 Бар (рис.2.7).

Рис.2.7. Условие равновесия для закрытого резервуара

Решение. Под действием внешнего давления Р₀ > Р_атм и весового давления ρ gh жидкость в пьезометре поднимется на высоту h_p большую, чем в случае открытого резервуара. Давление в точке А со стороны закрытого резервуара находится как:

р _A = р ₀ + ρ gh

Со стороны открытого пьезометра:

р _А = р _атм + ρ gh _р

Тогда:

р ₀ + ρ gh = р _атм + ρ gh _р

Из равенства получаем выражение для h_p:

Расчет:

Задача 5.8 Из закрытого резервуара (1) при помощи вакуумного насоса откачана часть воздуха. Резервуар с помощью изогнутой трубки (3) соединен с открытой ёмкостью (2), заполненной жидкостью (рисунок). Свободная поверхность жидкости в данной ёмкости находится при атмосферном давлении. Определить высоту поднятия жидкости в трубке при условиях: р _абс=0, 3 бар; р_атм=0, 97 бар.

Рисунок - Определение вакуумметрической высоты

Решение. Из условия задачи следует, что в резервуаре (1) давление меньше атмосферного, поэтому жидкость из ёмкости (2) поднимется в трубке (3) на некоторую высоту, называемой вакуумметрической высотой h_в. Величина h_в определяется из условия гидростатического равновесия:

р _атм = р _абс + ρ gh _в

Откуда

Расчет: .

Примечание. Теоретически максимальное значение вакуумметрического давления составляет 98, 1 кПа или 10 м вод. ст. Однако на практике создать разрежение в жидкости меньше давления насыщенных паров невозможно. Поэтому предельное значение составляет 7-8 м вод. ст.

Задача 5.9 Определить силу давления на плоскую площадку треугольной формы, наклоненную к горизонту под углом α =30˚. Геометрические параметры площадки на рисунке

рисунок

Решение. Сила давления на вертикальную треугольную стенку в соответствии с табличными данными равна

В рассматриваемом случае наклонной площадки имеем:

Примечание: доказательство изложено в примере для самостоятельной работы (1 Сам раб № 1)

Расчет:

Задача 5.10 Определить пьезометрическую высоту для жидкости плотности 830 кг/м³, соответствующую манометрическому давлению 5 бар.

Решение.

Задача 5.11 Манометр, присоединенный к резервуару с нефтью плотности 840 кг/м³, показывает давление 121 кПа, Определить уровень налива нефти в резервуаре.

Решение. Давление, которое показывает манометр равно давлению столба жидкости над манометром, т.е.

Откуда:

Задача 5.12 Полая сфера диаметром D = 4 м затонула на глубине Н в озере (рис.2.36). В верхней части сферы имеется воздушная прослойка в виде шарового сегмента толщиной h =1 м (при затоплении образовалась течь, и часть сферы заполнилась водой). Известно, что давление воздуха в сфере равно гидростатическому давлению в воде на глубине 10 м. Определить глубину Н на которой находится сфера.

Рисунок

Решение. Гидростатическое давление в воде на глубине 10 м

(1)

Давление в точке А внутри сферы очевидно составляет

(2)

По закону о сообщающихся сосудах такое же давление достигается на глубине Н:

(3)

Приравнивая (2) и (3) получим

Задача 5.13 Для измерения плотности жидкостей при атмосферном давлении и любых температурах, применяют простой метод – гидростатического давления. Схема установки для определения плотности по этому методу показана на рисунке 2.33: в сосуд с исследуемой жидкостью 1 по трубке 4 подается из баллона 3 газ, не взаимодействующий с жидкостью. Давление газа в трубке измеряется жидкостным манометром 2. Выведите формулу для определения плотности исследуемой жидкости.

Рис.2.33

Решение. Жидкостный манометр показывает давление

(1)

Под этим давлением из трубки 4, помещенной в емкость 1 на глубину Н вытесняется воздух, т е.

(2)

Приравнивая (1) и (2) получим

Задача 5.14 Определить величину манометрического давления в точках А, B, C (рис.2.24), если на поршень диаметром d = 180 мм действует сила F = 6, 15۰ 10³ Н. (h =1, 4 м).

Рисунок

Решение. Давление в точке А:

Давление в точке В:

Давление в точке С: