Закон Бернулли

Задача.7.1 Струя воды выбрасывается из гидромонитора со скоростью V =100 м/с. Расход воды равен Q =144 м³/час. Найти мощность насоса, если его КПД равен η =75%.

Решение. Мощность струи гидромонитора равна скалярному произведению вектора движущей силы F на вектор скорости струи

, Вт. (1)

Движущая сила равна произведению динамической составляющей давления струи воды на площадь S истечения потока

, Н (2)

Площадь сечения гидромонитора составляет

, м² (3)

Комбинируя выражениями, получим выражение для мощности струи гидромонитора

(4)

Тогда искомая мощность насоса равна

(5)

Расчет: Вт

Задача 7.2. Из канала гидромонитора диаметром d ₁=60 мм вырывается струя воды со скоростью V ₁=19 м/с. Найти избыточное давление в магистрали гидромонитора, диаметр которой d ₂ =200 мм.

Решение. Запишем уравнение Бернулли для несжимаемой жидкости - для потока воды внутри магистрали и на выходе из канала:

, (1)

где V ₁ и V ₂ – скорости потока воды на выходе и внутри магистрали.

Из условия неразрывности потока имеем:

. (2)

Следовательно, избыточное давление вычисляется по формуле:

(3)

Расчет: Па

Задача 7.3 Для забора водногрунтовой смеси из резервуара при разработке грунтов гидромонитором используется водоструйный насос (его устройство показано на рисунке). Определите высоту h, на которую можно поднять водногрунтовую смесь с плотностью r₀= 1100кг/м³ из резервуара при пропускании через водоструйный насос чистой воды в количестве Q= 20 л/с под абсолютным давлением р₁= 120 кН/м², если диаметр подводящей трубы d₁= 20 см, а выходного сечения сопла d₂= 5 см? Потерями напора на трение пренебречь

рисунок

Решение. Запишем интеграл Бернулли для двух сечений потока чистой воды: 1 – в подводящей трубе, 2- в выходном сечении сопла:

.

В этом уравнении z₁=z₂=0, а h_тр=0 по условию. Тогда

.

Определим скорости v₁ и v₂:

При этом числа Рейнольдса в каждом из сечений превышают критическую величину:

поэтому коэффициенты Кориолиса в интеграле Бернулли можно принять равными a₁=a₂= 0, 85. Тогда давление на выходе из сопла будет равно:

.Так как давление на выходе из сопла оказалось меньше атмосферного, то в корпусе насоса возникает вакуум, за счет чего насос и сможет поднимать водногрунтовую смесь. Величина вакуума составит

а искомая высота будет равна

Задача 7.5 Давление воды в водопроводной сети равно 3 атм. С какой скоростью истекает вода из вентиля крана? Какой должна быть площадь отверстия крана, что бы ведро можно налить за 50 сек?

Решение. Запишем общее уравнение Бернулли для идеальной жидкости:

В рассматриваемом случае: z ₁= z ₂; p ₁=3∙ 0, 98∙ 10⁵ Па; p ₂=0, 98∙ 10⁵ Па; v ₁≈ 0. Следовательно, скорость истечения идеальной воды из отверстия составляет:

Ведро воды имеет объем V =10 л=10^-2м³. Из уравнения неразрывности струи имеем:

Задача. 7.6 Определить высоту фонтана, образованного вследствие истечения воды из вертикального отверстия. Определить скорость истечения жидкости из отверстия. Давление в магистрали 1, 5 бар.

Решение. Запишем уравнение Бернулли для жидкости на входе (позиция 1) и выходе (позиция 2) из отверстия:

В рассматриваемом случае z ₁= z ₂; p ₁=1, 5∙ 10⁵ Па; p ₂=10⁵ Па; v ₁≈ 0. Следовательно, скорость истечения жидкости из отверстия

Далее запишем уравнение Бернулли на выходе из отверстия (позиция 2) и на вершине фонтана (позиция 3):

В данном случае имеем: p ₂=10⁵ Па; p ₁=10⁵ Па; v ₂≈ 10, 0; v ₃=0. Следовательно, высота подъема

Задача 7.7 Определить длительность истечения жидкости из емкости диаметром D =0, 5 м выстой h =2м через круглое отверстие диаметром d =10 мм. Коэффициент расхода отверстия принять равным единице.

Рисунок – Истечение жидкости из отверстия

Решение. Запишем уравнение Бернулли для двух сечений потока жидкости: уровень жидкости в емкости (положение 1) и жидкость на выходе из отверстия:

(1)

Уравнение неразрывности потока для указанных сечений:

(2)

Откуда:

(3)

В рассматриваемом случае имеем: текущий уровень жидкости z ₁- z ₂= z; пьезометрические давления равны, т.е. p ₁= p ₂.

Подставив (3) в (1) после преобразований получим

(4)

где

Перепишем (2) в виде

(5)

Осуществим разделение переменных и подставим пределы интегрирования для времени полного опорожнения сосуда

(6)

После интегрирования имеем

(7)

Расчет:

Ответ. Вода вытечет за 27 мин.

Задача 7.8. Бочка диаметром D =0, 6 м и высотой Н =1 м, целиком заполнена бензином (ρ _б=700 кг/м³), находится на дне водоема.

Определить, за какое время вытечет весь бензин, предположив, что в крышке и дне образовались одинаковые отверстия площадью f =140 мм². Коэффициент расхода этих отверстий считать одинаковым, постоянным в течение всего времени опорожнения, равным μ =0, 6. Коэффициенты местных сопротивлений считать одинаковыми и равными ξ =0, 06.

Рисунок к задаче №9

Решение. Перепад давлений в нижнем отверстии бочки определяется как разность внешнего давления воды и давления комбинации жидкостей внутри бочки:

(1)

С учетом местных сопротивлений перепад давлений будет меньше, соответственно

(2)

Скорость втекания воды в бочку определяется из выражения

(3)

Или

(4)

Скорость перемещения уровня раздела воды и бензина в бочке

(5)

Или

(6)

Разделение переменных

где

Интегрирование

Результат интегрирования

Расчет:

Ответ: бензин вытечет за 50 мин.

Задача 7.9. Определить величину давления, возникающего в скважине при мгновенном торможении воды, истекающей из скважины диаметром D=200 мм, через трубу диаметром d=70 мм со скоростью v =25 м/с.

Решение. При мгновенном торможении потока жидкости на выходе из трубы возникает гидравлический удар, при котором максимальное давление в заторможенном потоке составляет

Давление в скважине рассчитывается с учетом различия в сечений трубы и скважины

Ответ: в результате гидравлического удара максимальное давление в скважине составит около 43 бар.

Задача. По трубе диаметром 200 мм идет вода при перепаде высот величиной h_l =15 мм на длине Δ l =100 м. Определить максимальную скорость воды в трубе, среднюю скорость движения воды и массовый расход. Температура воды 20˚ С, динамическая вязкость μ =1, 004∙ 10^-3 Па∙ с.

Решение. При ламинарном движении скорость потока по радиусу изменяется по параболическому закону:

Где ρ – плотность воды,

μ –динамическая вязкость;

J - гидравлический уклон, ;

r₀ – радиус трубы, м;

r – текущий радиус, м.

Объемный расход рассчитывается по формуле Пуазейля

где М – коэффициент, зависящий от свойств жидкости,

, (м∙ с)^-1

D - диаметр трубы,

Средняя скорость движения воды

Результаты расчета:

Гидравлический уклон:

;

Максимальная скорость по формуле Пуазейля

.

Кэффициент:

Массовый расход:

Средняя скорость потока

Проверка на ламинарность потока

Поскольку поток турбулентный, формулой Пуазейля пользоваться нельзя!

Для турбулентного потока справедлива зависимость Прандтля, которая после введения некоторых эмпирических коэффициентов, найденных И. Никурадзе, имеет вид:

а) для гладких труб

,

где u - скорость в живом сечении цилиндрической трубы;

V_* - величина, называемая скоростью трения;

где R – гидравлический радиус трубы м

Скорость трения согласно формуле (7.33 см учебник) составляет

Относительная скорость в центре трубы при r = 0 по формуле:

Искомая скорость воды в центре трубы

Средняя скорость воды в трубе

Тогда расход воды

.

Задача. Определить скорость воды в центре гладкой трубы радиусом r₀ = 0, 1 м если потеря напора на участке длиной l = 20 м составляет h_l = 0, 1 м. Кинематическая вязкость воды n = 10^-6 м²/с.

Решение. Гидравлический уклон трубы

.

Гидравлический радиус трубы

м

Скорость трения согласно формуле

м/с.

Относительная скорость в центре трубы при r = 0 по формуле:

.

Искомая скорость воды в центре трубы

б) для шероховатых труб вместо используют зависимость

,

где D - средняя высота выступов шероховатости;

А_ш - коэффициент, зависящий от типа шероховатости (например, для разнозернистой шероховатости А_ш = 8, 5 [8].

Задача. Определить скорость воды в центре шероховатой трубы радиусом r₀ = 0, 1 м если выступы равнозернистой шероховатости (А_ш = 8, 5) составляют D = 0, 12 мм (табличные данные для трубы, бывшей в эксплуатации). Остальные условия течения – как в предыдущем примере, т.е. V_* = 0, 0495 м/с.

Решение. Относительная скорость воды в центре трубы согласно формуле

.

Искомая скорость воды в центре трубы:

м/с.

Задача. По горизонтальной стальной трубе длиной l = 300 м, радиусом r = 0, 10 м, характеризуемой шероховатостью D = 0, 15 мм перемещается вода с температурой 20^оС (кинематическая вязкость воды при данной температуре n = 1, 006 × 10^-6 м²/с). Расход воды Q = 0, 02 м³/с. Найти потери напора по длине трубы. Потери мощности потока.

Решение. Относительная шероховатость трубы:

.

Средняя скорость движения воды в трубе:

Число Рейнольдса

Предельные числа Рейнольдса согласно формулам и

Сопоставляя величину Re_D с предельными значениями чисел Рейнольдса видим, что

.

Поэтому выполним расчет l по формуле Альтшуля:

Искомая потеря напора составляет

Пример. Определить среднюю скорость движения воды по цилиндрическому каналу радиусом r₀ = 0, 3 м, заполненному на половину при величине пьезометрического уклона 0, 1 м на 50 м длины потока. Материал канала – сталь неокрашенная.

Задача. Гидравлический радиус канала:

м.

По табл. 7.2 определяем коэффициент шероховатости канала, который составляет n = 0, 012.

Величина пьезометрического уклона

.

По формуле вычисляем коэффициент Шези:

Искомую среднюю скорость движения воды определяем по формуле Шези:

м/с.

Задача. Вычислить потерю напора потока воды переходящего из трубы диаметром 100 мм в трубу диаметром 200мм. Средняя скорость в трубе малого диаметра составляет 2 м/с.

К расчету потерь напора при внезапном расширении потока

Решение. Потеря напора определяется по формуле Борда:

,

где разность () называется потерянной скоростью.

Следовательно:

Примечание. Можно также рассчитать по формуле Вейсбаха-Дарси

Задача. Вычислить потери потока при резком сужении трубы если скорость в широком участке трубы составляет 0, 5 м/с. Диаметр первой трубы D₁=200 мм, диаметр второй трубы D₂=100 мм.

Решение. Потери напора на участке резкого сужения потока составляют:

где x_f - коэффициент сопротивления, по данным таблицы 7.3 составляет

Расчет:

Следовательно

.

Задача. Вычислить потерю напора при плавном повороте потока на 90˚. Скорость воды в трубе 3 м/с. Вычислить также потерю напора при резком повороте потока.

Решение. Потери напора на пути перемещения потока составляют:

;

где x_f - полный коэффициент сопротивления;

,

.

При плавном повороте потока по данным таблицы при плавном повороте при выполнении условия коэффициент сопротивления составляет .

Следовательно

.

При резком повороте потока коэффициент сопротивления составляет .

Следовательно, потери напора составят

.

Задача. Определить скорость истечения струи воды из гидромонитора и расход воды, если манометрическое давление в магистрали составляет 6 атм, а диаметр выходного отверстия насадка Вентури со скругленными кромками составляет 50 мм. Определить динамическую мощность струи.

Решение. Величина приведенного напора при манометрическом давлении Па определяется по формуле:

м.

Коэффициент сопротивления для насадка Вентури со скругленными кромками x = 0, 2 (см. табл. 7.3).

Тогда коэффициент скорости струи:

.

Коэффициент расхода отверстия при коэффициенте сжатия e = 1 также равен m₀ = 0, 91.

Скорость истечения струи воды из гидромонитора

м/с.

Расход воды:

м³/с =

= 61, 3 л/с

Динамическая мощность струи гидромонитора:

Вт»29, 8 кВт.

Задача. Определить расход воды через прямоугольный водослив с геометрическими параметрами по рисунку.

Решение.

Основную расчетная формула для прямоугольного водослива:

,

где m - поправочный коэффициент, называемый коэффициентом расхода водослива.

Для расчета коэффициента расхода водослива можно использовать эмпирическую формулу, рекомендуемую Р.Р. Чугаевым для нормального водослива:

,

которую можно применять при

где С_в – высота водосливной стенки.

Условия выполняются, поэтому можно использовать формулу для вычисления коэффициента расхода, который составляет

.

Искомый расход воды определяется по формуле

м³/ч.