Решение. 1. Вычислим индекс себестоимости переменного состава, который равен отношению средней себестоимости единицы продукции вида «А» отчетного периода к средней

1. Вычислим индекс себестоимости переменного состава, который равен отношению средней себестоимости единицы продукции вида «А» отчетного периода к средней себестоимости единицы продукции базисного периода

.

Средняя себестоимость единицы продукции вида «А» по двум предприятиям в отчетном и базисном периодах равна:

тыс. руб.

тыс. руб.

Следовательно, индекс себестоимости переменного состава равен:

, или 132, 6 %.

Он показывает, что средняя себестоимость изделия по двум предприятиям выросла на 32, 6 %. Этот рост обусловлен изменением себестоимости продукции по каждому предприятию и изменением структуры выпуска продукции (удельного веса продукции предприятий). Выявим влияние каждого из этих факторов на динамику средней себестоимости, исчислив индекс себестоимости постоянного состава и индекс структурных сдвигов.

2. Индекс себестоимости постоянного состава (индекс фиксированного состава), показывающий, как изменилась средняя себестоимость за счет изменения только себестоимости единицы продукции на предприятиях, равен:

.

Себестоимость продукции по двум предприятиям в среднем выросла на 34%.

3. Индекс структурных сдвигов, характеризующий степень влияния структурных сдвигов на изменение средней себестоимости единицы продукции, определяется:

,

,

или 98, 9%.

Средняя себестоимость изделия в отчетном периоде снизилась на 1, 1% за счет изменения структуры, т.е. за счет увеличения доли продукции второго предприятия с 50 до 60 %, на котором уровень себестоимости продукции был ниже по сравнению с первым предприятием.

Исчисленные выше индексы можно вычислять по удельным весам продукции предприятия, выраженным в коэффициентах:

а) индекс себестоимости переменного состава –

;

б) индекс себестоимости постоянного состава –

;

в) индекс структурных сдвигов –

.

Индексы переменного состава, постоянного состава и структурных сдвигов взаимосвязаны:

.

Абсолютное изменение средней себестоимости единицы продукции вида «А» составило:

- за счет изменения двух факторов:

тыс. руб.;

-за счет среднего роста собственно себестоимости:

тыс. руб.;

- за счет изменения структуры выпуска продукции:

тыс. руб.

Взаимосвязь:

тыс. руб.

Тема 7 «Статистическое изучение взаимосвязи социально-экономических явлений» (задачи №104-123)

Статистические показатели коммерческой деятельности, отображая объ­ективную взаимообусловленность и взаимозависимость отдельных сторон коммерческой деятельности, могут состоять между собой в следующих ос­новных видах связи: балансовой, компонентной, факторной.

Статистическое изучение связей проходит в три этапа. На первом этапе выясняется сущность явлений и устанавливается возможность связи между ними с помощью теоретического анализа методами экономической теории, социологии и конкретной экономики. На втором этапе строится модель связи, базирующаяся на методах статистики. Третий этап – интерпретация результатов, связанная с качественными особенностями явления.

Качественный (теоретический) анализ позволяет выявить факторные и результативные признаки. Признаки, характеризующие причины, обуславливающие изменения других, связанных с ним признаков, называются факторными и обозначаются х. Признаки, характеризующие следствие, изменяющиеся под действием факторных признаков, являются результативными и обозначаются у.

Существуют различные виды и формы связи, различающиеся по существу, характеру, по направлению, по тесноте, по аналитическому выражению и т.д.

По характеру различают связи функциональные (жестко детерминированные) и стохастические (стохастически-детерминированные).

Связь результативного признака у с факторным признаком х называется функциональной, если каждому значению факторного признака х соответствует одно или несколько строго определенных значений результативного признака у.

Характерной особенностью функциональных связей является то, что в каждом отдельном случае точно известен полный перечень факторов, определяющих значение результативного признака у, а также точный механизм их влияния, выраженный определенным уравнением.

В реальной общественной жизни все явления связаны между собой и нет конечного числа факторов х, которые абсолютно полно определяли бы собой результативный признак у. Следовательно, и парная, и множественная функциональные зависимости признаков являются лишь абстракциями, полезными и необходимыми при анализе явлений, но упрощающими реальность. Чаще всего функциональные связи наблюдаются в явлениях, описываемых математикой, физикой, механикой и другими точными науками. Эти науки используют функциональные связи не только в аналитических целях, но и в целях прогнозирования. Имеют место функциональные связи и в социально-экономических процессах, но довольно редко (они отражают взаимосвязь только отдельных сторон сложных явлений общественной жизни). В экономике примером функциональной связи может служить связь между оплатой труда у и количеством изготовленных деталей х при простой сдельной оплате труда.

Прежде чем применять корреляционно-регрессионный анализ для определения формы связи, исчисления ее количественной характеристики и измерения степени тесноты связи, нужно предварительно отобрать факторы, оказывающие существенное влияние на результативный признак. Помочь в этом может метод аналитической группировки и расчет на его основе эмпирического корреляционного отношения.

Эмпирическое корреляционное отношение () равно корню квадратному из эмпирического коэффициента детерминации ():

. (74)

Коэффициент детерминации () показывает, какая часть общей вариации (дисперсии) результативного признака у объясняется вариацией группировочного фактора х, определяется отношением межгрупповой дисперсии к общей диспресии результативного признака:

. (75)

Межгрупповая дисперсия результативного признака (), характеризующая его вариацию за счет группировочного признака х, исчисляется по формуле:

, (76)

где - групповые средние результативного признака у;

- общая средняя результативного признака;

f – число единиц в группах.

Общая дисперсия (), характеризующая его вариацию за счет всех факторов, исчисляется по формулам:

1) ; 2) . (77)

Если исследуемые признаки имеют разные единицы измерения, для оценки влияния факторного признака на результативный применяется коэффициент эластичности.

Коэффициент эластичности рассчитывается для каждой точки по формуле:

, (78)

где - первая производная уравнения регрессии.

Он показывает, на сколько процентов изменяется результативный признак при изменении факторного признака на 1%.

Средний коэффициент эластичности определяется для уравнения прямой по формуле:

. (79)

Если зависимость величин результативного признака у от значений факторного признака х имеет форму гиперболической зависимости, то есть характеризуется корреляционным уравнением , то для определения параметров и методом наименьших квадратов находим две частные производные от функции , по и , приравниваем их к нулю, получаем систему нормальных уравнений:

. (80)

Производим замену переменных , получаем следующую систему нормальных уравнений:

. (81)

Параметры уравнения гиперболы можно вычислить по формулам:

, (82)

, (83)

Гиперболическая форма корреляционной связи используется при изучении зависимости уровня себестоимости единицы продукции от объема выпуска продукции.

Если зависимость величин результативного признака у от значений факторного признака х характеризуется корреляционным уравнением параболы второй степени , то это параболическая зависимость.

И парабола, и прямая являются частным случаем полинома n-ой степени вида .

Систему уравнений для определения параметров можно найти, приравнивая нулю частные производные от по . Решив систему, определяем параметры корреляционного уравнения.

Для практического использования моделей регрессии большое значение имеет их адекватность, т. е. соответствие фактическим статистическим данным. Адекватность регрессионной модели при малой выборе можно оценить F критерием Фишера:

, (84)

где m – число параметров модели;

n - число единиц наблюдения;

- факторная дисперсия, которая характеризует вариацию результативного признака под влиянием признака фактора, включенного в модель;

- остаточная дисперсия, характеризующая вариацию результативного признака под влиянием прочих, неучтенных факторов;

- общая дисперсия, показывающая вариацию результативного признака под влиянием всех факторов, вызывающих эту вариацию:

. (85)

Эмпирическое значение критерия сравнивается с критическим (табличным) с уровнем значимости 0, 01 или 0, 05 и числом степеней свободы (m-1), (n-m).

Если > , то уравнение регрессии признается значимым.

При численности объектов анализа до 30 единиц (при малой выборе) возникает необходимость испытания параметров уравнения на их типичность (значимость). При этом осуществляется проверка, насколько вычисленные параметры характерны для отображаемого комплекса условий, не являются ли полученные значения параметров результатами действия случайных причин.

Для проверки значимости параметров уравнения регрессии используется t – критерий Стьюдента. Вычисляются фактические значения t критерия:

Для параметра :

; (86)

для параметра :

, (87)

где - среднее квадратическое отклонение результативного признака от выравненных значений ;

- среднее квадратическое отклонение факторного признака хот общей средней .

Полученные фактические значения и сравниваются с критическим , который получают по таблице Стьюдента с учетом принятого уровня значимости а (а =0, 01 или а =0, 05) и числа степеней свободы k=n-2.

Параметр признается значимым (типичным), если эмпирическое значение больше критического табличного :

> < .

Проверка адекватности регрессионной модели может быть дополнена корреляционным анализом. Для этого необходимо определить тесноту корреляционной связи между переменными х и у.

Теснота связи между двумя признаками может измеряться линейным коэффициентов корреляции (r), корреляционным отношением () и индексом корреляции (R).

Линейный коэффициент корреляции определяется по формулам:

, (88)

или . (89)

Линейный коэффициент корреляции характеризует степень тесноты только при прямолинейной корреляционной зависимости. С коэффициентом регрессии связан таким соотношением: .

Величина принимает значения в интервале: . Отрицательные значения указывают на обратную связь, положительные – на прямую. При =0 линейная связь отсутствует. Чем ближе по абсолютной величине к единице, тем теснее связь между признаками. И, наконец, при , связь функциональная.

Квадрат линейного коэффициента корреляции называется линейным коэффициентом детерминации, показывает удельный вес влияния данного фактора в общей сумме всех факторов, определяющих уровень результативного признака.

Линейный коэффициент корреляции предложили в конце XIX века английские ученые Ф. Гальтон и К. Пирсон.

При наличии криволинейной корреляционной связи недооценивает тесноту связи и в некоторых случаях может дать неверное представление о степени тесноты связи.

Теоретическое корреляционное отношение () и индекс корреляции () служат для измерения тесноты связи как при прямолинейной, так и при криволинейной корреляционной связи.

Теоретическое корреляционное отношение определяется по формулам:

или . (90)

Корреляционное отношение в квадрате показывает, какую часть всей вариации результативного признака составляет вариация, вызванная факторным признаком.

Для упрощения расчетов степени тесноты связи часто применяется индекс корреляции. Индекс корреляции определяется по следующим формулам:

или . (91)

Абсолютные размеры линейного коэффициента корреляции, корреляционного отношения, индекса корреляции колеблются от 0 до 1. Направление связи (знак перед и ) определяется непосредственно по исходным данным.

Для качественной оценки тесноты связи можно воспользоваться также шкалой Чеддока:

Показатели и при прямолинейной связи совпадают. Поэтому вычисленные по одним и тем же данным величины и часто используют для того, чтобы судить о том, насколько для данного случая правильно предположение о наличии именно прямолинейной формы корреляционной связи. Английский статистик Блекман предложил следующий критерий: если разность не превышает 0, 1, предположение о прямолинейной форме корреляционной связи можно считать оправданным.

Показатели тесноты связи, исчисленные по данным небольшой статистической совокупности, могут искажаться действием случайных причин. Это вызывает необходимость проверки из значимости (надежности, существенности).

Для оценки значимости коэффициента корреляции применяется t–критерий Стьюдента, который определяется по формуле:

, (92)

где - число степеней свободы при данном уровне значимости и объеме выборки n.

Вычисленное по формуле значение сравнивается с критическим .

Если > , то величина коэффициента корреляции признается значимой.

Для оценки значимости индекса корреляции R применяется F -критерий Фишера.

Фактическое значение критерия определяется по формуле:

, (93)

где m– число параметров уравнения регрессии.

Величина сравнивается с критическим , которое определяется по таблице F –критерия с учетом принятого уровня значимости а и числа степеней свободы и .

Если > , то величина индекса корреляции признается значимой.

Оценка индекса корреляции R осуществляется по F–критерию. Определяется фактическое значение:

. (94)

Ошибка аппроксимации вычисляется по формуле:

. (95)

Вопросы для контроля знаний.

1. Функциональная и стохастическая связь, в чем их сущность и отличие?

2. Каковы основные задачи применения корреляционно-регрессионного анализа?

3. Что собой представляет корреляционная связь?

4. Статистические методы выявления наличия корреляционной связи между признаками.

5. Какими показателями измеряется теснота корреляционной связи?

6. Напишите формулу линейного коэффициента корреляции?

7. Как рассчитать коэффициенты регрессии? Что они характеризуют?

8. Уравнения регрессии, их виды, методы построения.

9. Графическое изображение корреляционной зависимости.

10. Что представляют собой непараметрические методы?