Решение. Доверительный интервал для генеральной средней массы батончика определяем по выражению

Доверительный интервал для генеральной средней массы батончика определяем по выражению

,

где - генеральная средняя масса батончика; - выборочная средняя массы батончика; - средняя ошибка выборки (выборочной средней); t – коэффициент доверия.

Выборочную среднюю массу батончика определяем по формуле средней арифметической взвешенной

,

где - среднее значение интервалов масс батончиков; f – число батончиков в интервале.

Для определения величины строим следующую расчетную таблицу.

Таблица 2 - Расчетная таблица

Масса батончиков, грамм (x)	Количество батончиков (f)	Среднее значение интервала, грамм ()			()	()
48-49		48, 5		-1, 7	2, 89	23, 12
49-50		49, 5		-0, 7	0, 49	19, 6
50-51		50, 5	1767, 5	0, 3	0, 09	3, 15
51-52		51, 5		1, 3	1, 69	20, 28
52-53		52, 5	262, 5	2, 3	5, 29	26, 45
Итого:						92, 6

Подставляя итоговые значения граф 2 и 4 в формулу для определения , получаем

Далее определяем среднюю ошибку выборки по формуле

,

где - дисперсия массы батончиков; n – число обследованных батончиков. Дисперсию определяем по формуле

.

Подставив итоговые значения граф 2 и 7 в вышеотмеченную формулу, получим

.

Тогда средняя ошибка выборки будет

Определяем предельную ошибку выборки

,

где t – коэффициент доверия.

Из таблицы, приведенной в рекомендуемой литературе данного раздела, видно, что вероятности 0, 997 соответствует коэффициент доверия t =3.

Тогда предельная ошибка выборки будет

Следовательно, доверительный интервал для генеральной средней массы батончика будет в пределе от 49, 9 (50, 2-0, 3) до 50, 5 (50, 2+0, 3) г.

Тема 5 «Статистическое изучение динамики социально-экономических явлений» (задачи №59- 73)

Коммерческая деятельность на рынке товаров и услуг развивается во времени. Изучение происходящих при этом изменений является одним из необходимых условий познания закономерностей динамики.

Основная цель статистического изучения динамики коммерческой деятельности состоит в выявлении и измерении закономерностей их развития во времени. Это достигается посредством построения и анализа статистических рядов динамики. Рядами динамики называются статистические данные, отображающие развитие изучаемого явления во времени. Для количественной оценки динамики социально-экономических явлений применяются статистические показатели: абсолютные приросты, темпы роста и прироста, темпы наращивания (пункты роста и др.).

Простейшими показателями, которые используются при измерении скорости изменения уровней ряда динамики, являются абсолютный прирост (), темп роста (), темп прироста (), а также абсолютное значение одного процента прироста (А), пункты роста.

В зависимости от задачи исследования абсолютные приросты, темпы роста и темпы прироста в моментных и интервальных рядах с равностоящими уровнями (полных) могут быть исчислены с переменной базой сравнения (в этом случае их называют цепными) и с постоянной базой сравнения (в этом случае их называют базисными).

Абсолютный прирост () характеризует абсолютную скорость роста, показывает, на сколько единиц увеличился (или уменьшился) уровень данного периода или момента времени по сравнению с предыдущим (или базисным) уровнем.

Абсолютный прирост может быть положительным, отрицательным и равным нулю.

Цепной абсолютный прирост - это разность между последующим уровнем ряда и предыдущим уровнем.

. (29)

Базисный абсолютный прирост – это разность между последующим уровнем и базисным.

. (30)

Знак «-» свидетельствует о снижении выпуска продукции. Из полученных значений видно, что по месяцам периода происходило систематическое возрастание абсолютного снижения выпуска продукции, причем базисные и цепные показатели абсолютной убыли показывают, что в снижении выпуска продукции имело место замедление в мае месяце.

Между цепными и базисными абсолютными приростами существует взаимосвязь.

Каждый базисный абсолютный прирост равен сумме цепных абсолютных приростов и каждый цепной абсолютный прирост равен разности соответствующих базисных абсолютных приростов.

Интенсивность изменения уровней оценивается отношением уровней. Относительными показателями динамики, характеризующими интенсивность изменения уровней являются темпы роста и прироста. Выражаются темпы роста в коэффициентах или процентах.

Цепной темп роста исчисляют отношением последующего уровня у предыдущему:

. (31)

Базисный – отношением каждого последующего уровня к базисному уровню

. (32)

Темпы роста – только положительные числа.

Темпы роста (Т) (снижения) показывают, во сколько раз уровень данного периода или момента времени больше предыдущего или базисного уровня (если Т> 1) или какую часть предыдущего или базисного уровня составляет уровень данного периода или момента времени (если Т< 1).

Между цепными и базисными темпами роста имеется взаимосвязь:

- каждый базисный темп роста равен произведению соответствующих цепных темпов роста;

- каждый цепной темп роста равен отношению последующего базисного к предыдущему.

Темп прироста () (сокращения) показывает, на сколько процентов уровень данного периода или момента времени больше (или меньше) предыдущего или базисного уровня.

Цепной темп прироста () определяется двумя способами:

1) отношением цепного абсолютного прироста к предыдущему уровню

(33)

2) или . (34)

Базисный темп прироста () определяется двумя способами:

1) отношением базисного абсолютного прироста к базисному уровню:

(35)

2) . (36)

Темп прироста может быть положительным, отрицательным и равным нулю.

Между взаимосвязи не существует, их нельзя суммировать и перемножать.

Пункты роста (П_р) (их иногда называют темпами наращивания) определяются двумя способами:

1) делением цепных абсолютных приростов на базисный уровень

, (37)

2) разностью между базисными темпами роста:

. (38)

В отличие от темпов прироста, которые нельзя ни суммировать, ни перемножать, пункты роста можно суммировать, в результате получая базисный темп прироста соответствующего периода.

Абсолютное значение (содержание одного процента прироста (А): можно подсчитать двумя способами:

1) отношением цепного абсолютного прироста к цепному темпу прироста

; (39)

2) , (40)

В полном интервальном ряду динамики средний уровень определяется по формуле простой средней арифметической:

. (41)

Для полного моментного ряда динамики средний уровень исчисляется по формуле простой средней хронологической:

. (42)

Средний абсолютный прирост () характеризует среднюю абсолютную скорость роста (или снижения) уровня, вычисляется двумя способами:

1) как простая средняя арифметическая из цепных абсолютных приростов

(43)

2) как отношение базисного абсолютного прироста к числу периодов

. (44)

Средний абсолютный прирост показывает, на сколько единиц увеличивался или уменьшался по сравнению с предыдущим уровень в среднем за единицу времени (в среднем ежемесячно, ежегодно и т.д.).

Средний абсолютный прирост можно использовать для экстраполяции и интерполяции. Под экстраполяцией понимают нахождение уровней за пределами ряда. Экстраполяция, проводимая в будущее, называется перспективной, или прогнозированием, а в прошлое-ретроспективной.

При прогнозировании уровней явления на базе ряда динамики с постоянными абсолютными приростами () применяется формула:

, (45)

Где - прогнозируемый уровень; n+t – номер этого уровня (года);

- конечный уровень базисного ряда динамики за который рассчитан ;

t - срок прогноза;

- средний абсолютный прирост.

Чем короче срок экстраполяции, тем более точные и надежные результаты дает прогноз.

При интерполяции применяется формула:

. (46)

Средний темп роста () показывает, во сколько раз увеличивался (или снижался) уровень по сравнению с предыдущим в среднем за единицу времени (в среднем ежегодно, ежемесячно и т.п.).

Определяется по формуле средней геометрической двумя способами:

В полном ряду динамики	В неполном ряду динамики
1.	1. , где
2.	2.

Средний темп прироста () (снижения), выраженный в процентах, показывает, на сколько процентов увеличивался (или уменьшался) уровень по сравнению с предыдущим в среднем за единицу времени (в среднем ежегодно, ежемесячно).

Средний темп прироста характеризует среднюю интенсивность изменения, т.е. среднюю относительную скорость изменения уровня. Определяется по формулам:

или . (47)

Прогнозирование уровня явления на базе ряда динамики со стабильными темпами роста () осуществляется по формуле:

. (48)

Среднее абсолютное значение одного процента прироста за период определяется по формуле простой средней арифметической из абсолютных значений одного процента прироста.

. (49)

Коэффициент опережения. При характеристике процесса опережения различных явлений можно сопоставлять только относительные показатели динамики, исчисленные за один и тот же период. Поэтому ряды динамики, уровни которых непосредственно несопоставимы, приводят сначала к одному основанию, т.е. выражают в виде базисных темпов роста, а затем на основе темпов роста вычисляют коэффициенты относительного опережения по формуле

, (50)

где - базисные темпы роста первого и второго рядов соответственно.

При решении задач по данной теме нет необходимости приводить расчеты всех указанных показателей за 5 – 6 лет. Достаточно показать методику расчета для первых двух лет, а результаты расчетов абсолютных и относительных показателей оформить в таблице.

Таблица - Динамика ______________за ………гг.

(наименование показателя)

Решая задачу по данной теме следует выявлять основную тенденцию развития методом аналитического выравнивания ряда динамики по уравнению прямолинейной функции (формула 51):

У_t = a_o + a₁ ∙ t (51)

Для определения величины параметров а₀ и а₁ используются нормальные уравнения способа наименьших квадратов, которые принимают вид:

∑ У = n a₀ + a₁ ∑ t

∑ У t = a₀ ∑ t + a₁ ∑ t²

где У – величины уровней фактического ряда динамики;

n - количество уровней ряда динамики;

t – временные показатели (годы).

Для упрощения расчетов используйте способ обозначения времени от условного начала, так чтобы сумма t была равна нулю. При этом в ряду динамики с нечетным числом уровней временные интервалы обозначают так:

Годы 2004 2005 2006 2007 2008

t -2 -1 0 +1 +2

В ряду динамики с четным количеством уровней временные интервалы следует обозначить так:

Годы 2003 2004 2005 2006 2007 2008

t -5 -3 -1 +1 +3 +5

Так как ∑ t = 0, то система нормальных уравнений примет вид:

∑ У = n * a₀

∑ У t = a₁ *∑ t²

Отсюда расчет параметров а₀ и а₁ можно провести по формулам(52):

∑ У ∑ У t

а₀ = --------- a₁ = -------------- (52)

n ∑ t²

Расчет параметров уравнения прямой рекомендуется проводить, заполняя таблицу.

Таблица - Расчет параметров уравнения прямой

Подсчитав значения а ₀ и а _1, Вы получите уравнение тренда, используя которое можно определить прогнозируемое значение изучаемого показателя на определенный год. Правильность рассчитанных величин уровней выравненного ряда динамики осуществляется путем суммирования значений эмпирического ряда (∑ У) и теоретических уровней (∑ Уt).

Если колебания ряда не имеют волнообразного характера, то для вычисления скользящей средней следует брать в «укрупненный» интервал нечетное количество уровней ряда (три, пять, и т.д.). Скользящие средние для укрупненного интервала, охватывающего три уровня, определяются по следующим формулам:

и т.д. (53)

Результаты расчета трехмесячных скользящих средних представим в таблице.

Таблица - Расчет скользящей средней

Месяц	Выпуск продукции, тыс. руб. (у)	Скользящая трехмесячная сумма выпуска продукции	Трехмесячная скользящая средняя
Январь	(у1)	-	-
Февраль	(у2)	)	()
Март	(у3)	()	()
Апрель	(у4)	()	()

Вопросы для контроля знаний.

1. Дайте определение ряда динамики и его основных элементов.

2. Классификация рядов динамики по времени наблюдения, способу выражения и полноте периодов.

3. Какие динамические ряды называются моментными и почему их уровни нельзя суммировать? Приведите пример моментного ряда динамики.

4. Какие ряды статистических величин называются интервальными? Почему их уровни можно суммировать? Приведите пример интервального ряда динамики?

5. Как исчисляется средняя из моментного ряда динамики?

6. Как исчисляется средняя из интервального ряда динамики?

7. Что характеризуют показатели абсолютного прироста и как они исчисляются?

8. Что представляет собой темп роста? Как он исчисляется?

9. По какой формуле исчисляется средний абсолютный прирост?

10. По какой формуле исчисляется средний темп роста?

11. Что показывает абсолютное значение одного процента прироста и как оно исчисляется?

12. Порядок пересчета показателей для приведения их к сопоставимому виду.

13. В чем сущность метода укрупнения интервалов и для чего он применяется?

14. Как производится сглаживание ряда динамики способом скользящей (подвижной) средней?

15. В чем сущность метода аналитического выравнивания ряда динамики по прямой?

16. Понятие экстраполяции ряда динамики.