Решение. Для расчета групповых дисперсий воспользуемся формулой:

Это первичные данные.

Для расчета групповых дисперсий воспользуемся формулой:

, где .

Расчет дисперсий по группам представим в таблице 2.

Таблица 2 – Расчет дисперсий по группам предприятий

Табельный номер рабочего	В дневную смену	В ночную смену
Произведено продукции, шт. (у)			Произведено продукции, шт. (у)
		-2 -4 +2 -4			+2 -2 -2 +2

шт. шт.

Подставив полученные значения в формулу, получим:

Средняя из групповых дисперсий равна:

.

Для определения межгрупповой дисперсии предварительно следует подсчитать общую среднюю как среднюю взвешенную из групповых средних:

шт.

Затем рассчитаем межгрупповую дисперсию:

Общую дисперсию исчислим по правилу сложения дисперсий:

Проверим полученный результат, исчислив общую дисперсию обычным способом:

Коэффициент детерминации равен:

или 15, 2%.

Эмпирическое корреляционное отношение составит:

;

Коэффициент детерминации показывает, какая доля всей вариации признака обусловлена фактором, положенным в основу группировки. Коэффициент детерминации = 15, 2%, следовательно, фактор времени работы (ночное или дневное) на 15, 2% обуславливает вариацию производительности труда рабочих. Эмпирическое корреляционное отношение показывает тесноту связи между группировочным и результативным признаками. Корреляционное отношение изменяется от 0 до 1.

Если связь отсутствует, то корреляционное отношение равно нулю. В этом случае дисперсия групповых средних будет равна нулю, т.е. все групповые средние будут равны между собой, межгрупповой вариации не будет. Значит, группировочный признак никак не влияет на образование общей вариации.

Если связь функциональная, то корреляционное отношение будет равно единице. В этом случае дисперсия групповых средних равна общей дисперсии (), т. е. внутригрупповой вариации не будет. Это означает, что группировочный признак целиком определяет вариацию изучаемого признака. Чем больше значение приближается к единице, тем полнее, ближе к функциональной зависимости корреляционная связь между признаками.

Для качественной оценки тесноты связи на основе показателя можно воспользоваться следующей таблицей (шкалой Чеддока):

Величина	0, 1 – 0, 3	0, 3 – 0, 5	0, 5 – 0, 7	0, 7 – 0, 9	0, 9 – 0, 99
Сила связи	слабая	умеренная	заметная	тесная	Весьма тесная

Убедившись с помощью группировки и , что связь достаточно тесная, можно перейти к корелляционно-регрессионному анализу.

В нашем примере =0, 389, что говорит об умеренной связи между временем работы рабочих (ночное или дневное) и их производительностью труда.

Тема 4 «Выборочное наблюдение» (задачи №43-58)

Решая задачу по теме «Выборочное наблюдение» следует учитывать метод отбора единиц из генеральной совокупности, то есть проводится повторный или бесповторный отбор.

Бесповторным называется такой отбор, при котором попавшая в выборку единица не возвращается в генеральную совокупность и в дальнейшей выборке не участвует, поэтому численность единиц генеральной совокупности сокращается в процессе исследования.

При повторной выборке общая численность единиц генеральной совокупности в процессе выборки остается неизменной. Ту или иную единицу, попавшую в выборку, после регистрации её признаков, снова возвращают в генеральную совокупность, и она сохраняет равную возможность со всеми прочими единицами вновь попасть в выборку.

Цель выборочного наблюдения – установить, с какой величиной отклоняется значение выборочной средней от средней величины признака в генеральной совокупности, то есть какова ошибка выборочного наблюдения. Эти ошибки называются ошибками репрезентативности или представительности. Они возникают потому, что обследуется не вся совокупность, а какая-то её часть, причем эта часть отобрана случайно.

Ошибка выборки — это объективно возникающее расхождение между характеристиками выборки и генеральной совокупности. Она зависит от ряда факторов: степени вариации изучаемого признака, численности выборки, методом отбора единиц в выборочную совокупность, принятого уровня достоверности результата исследования.

Определение ошибки выборочной средней.

При случайном повторном отборе средняя ошибка выборочной средней рассчитывается по формуле:

, (17)

где — средняя ошибка выборочной средней;

— дисперсия выборочной совокупности;

n — численность выборки.

При бесповторном отборе она рассчитывается по формуле:

, (18)

где N — численность генеральной совокупности.

Определение ошибки выборочной доли.

При повторном отборе средняя ошибка выборочной доли рассчитывается по формуле:

, (19)

где — выборочная доля единиц, обладающих изучаемым признаком;

— число единиц, обладающих изучаемым признаком;

— численность выборки.

При бесповторном способе отбора средняя ошибка выборочной доли определяется по формулам:

. (20)

Предельная ошибка выборки связана со средней ошибкой выборки отношением:

. (21)

При этом t как коэффициент кратности средней ошибки выборки зависит от значения вероятности Р, с которой гарантируется величина предельной ошибки выборки.

Значения коэффициентов доверия для разных уровней вероятности суждения приведены в следующей таблице:

Предельная ошибка выборки при бесповторном отборе определяется по следующим формулам:

, (22)

. (23)

Предельная ошибка выборки при повторном отборе определяется по формуле:

, (24)

. (25)

Предельные ошибки выборки позволяют определить предельные значения характеристик генеральной совокупности и их доверительные интервалы:

- для генеральной средней величины признака:

= х˜ ± Δ _{˜ х} (26)

х˜ - Δ _{˜ х} ≤ ≤ ˜ х + Δ _{˜ х}

- для генеральной доли:

р = w ± Δ w (27)

w - Δ w ≤ p ≤ w + Δ w (28)

Это означает, что с заданной вероятностью можно утверждать, что значение генеральной средней следует ожидать в пределах от х˜ -Δ _{˜ х} до х˜ +Δ _{˜ х}. Аналогичным образом может быть записан доверительный интервал для генеральной доли. Завершающим этапом решения задачи является формулировка выводов, в которых указываются значения доверительных интервалов.

Вопросы для контроля знаний.

1. Какое наблюдение называется выборочным?

2. В чем преимущество выборочного наблюдения перед сплошным?

3. Почему при выборочном наблюдении неизбежны ошибки, и как они классифицируются?

4. Как производятся собственно-случайный, механический, типический и серийный отборы?

5. В чем различие повторной и бесповторной выборки?

6. По каким расчетным формулам находят средние ошибки выборки (для средней) при повторном и бесповторном отборах?

7. Что характеризует предельная ошибка выборки и по какой формуле она исчисляется для средней?

8. Что показывает коэффициент доверия (доверительное число)?

9. Приведите примеры различных форм выборочного наблюдения: типического, серийного, механического, многофазного, многоступенчатого, малой выборки.