Требования, предъявляемые к оценивающей функции

Пусть a – некоторый параметр генеральной совокупности X, для которого необходимо построить оптимальную оценивающей функции ã в виде функции выборки:

ã = f (x ₁, x ₂, …, x_n). (191)

Оптимальность оценивающей функции конкретно определяется рядом требований, предъявляемых к ней. Выделим из этого ряда три наиболее употребляемые и практически ценные.

1. Состоятельность. Оценивающая функция должна сходиться по вероятности к оцениваемому параметру:

P (| ã – a |< e) вер. 1, (192)

т.е. при неограниченном увеличении объема выборки оценка будет всё теснее и теснее приближаться к параметру, совершая некоторые случайные колебания по обе стороны от него. При этом, вполне возможно, со всё убывающей вероятностью, что очередное колебание окажется по модулю больше предыдущего, в результате чего модуль уклонения оценки от параметра превысит величину e. Теорема Чебышёва, например, (см. 2.4.2) как раз и доказывает состоятельность среднего арифметического, являющегося оценивающей функцией математического ожидания.

2. Несмещённость. Математическое ожидание оценивающей функции должно равняться оцениваемому параметру:

E (ã) = a, (193)

т.е. формула оценивающей функции не должна иметь систематического искажения, из-за которого она теоретически не будет равна параметру.

В ходе доказательства вышеупомянутой теоремы Чебышёва было показано, хотя явно об этом вопрос не стоял, что среднее арифметическое является несмещённой оценивающей функцией математического ожидания, т.е. E () = = E (X).

Состоятельность и несмещённость оценивающей функции являются независимыми требованиями и дополняют друг друга. Оба они сформулированы на уровне числовых характеристик, более высоком, чем уровень распределений (см. 2.5). Например, средина размаха

x _ср. = (x _min + x _max) / 2,

так же является несмещённой оценивающей функцией математического ожидания, как и среднее арифметическое, для любого распределения, имеющего конечное среднее, хотя она явно несостоятельна, т.к. в ней использованы лишь два элемента выборки. Очевидно, что для нахождения оптимальной оценивающей функции из двух или нескольких несмещённых необходимо выдвинуть дополнительное требование.

3. Минимальность дисперсии (МД). Оценивающая функция называется МД-оценкой, если в классе несмещённых оценивающих функций некоторого параметра она обладает минимально возможной дисперсией, т.е.

D (ã) = min. (194)

Это требование обычно выдвигается в виде условия при решении задачи построения оценивающей функции, обладающей указанным свойством. Минимальность дисперсии так же является требованием на уровне числовых характеристик и не связана с конкретным распределением.

Иногда, можно встретить требование (194) в качестве условия эффективности оценивающей функции. Однако это некорректное смешение формы требования и его аналитического содержания. Эффективность оценивающей функции устанавливается с использованием неравенства Рао-Крамера [9] на уровне распределения и является более глубоким и мощным требованием. Всякая эффективная оценивающая функция является МД-оценкой, но не наоборот. Например (см. [9]), для выборки из нормальной генеральной совокупности, среднее арифметическое – эффективная МД-оценка математического ожидания.

Задача 3.22. Построить линейную, несмещённую МД-оценку математического ожидания по данным x ₁, x ₂, …, x_n простой, т.е. некоррелированной и равноточной, выборки, полученной по наблюдениям одной и той же величины без постоянных погрешностей. Истинное значение этой величины обозначим X.

Дано: 1) результаты наблюдений: x ₁, x ₂, …, x_n – простая выборка;

2) теоретические посылки: x_i X, где X – генеральная совокупность (вероятностно-статистическая модель технологии наблюдений); E (x_i)= E (X)=X – следствие того, что измеряется одна и та же величина без постоянных погрешностей; = s² > 0 – следствие равноточности наблюдений; K_ij = 0 для всех i ≠ j – следствие некоррелированности элементов выборки. Все следствия записаны, исходя из принципа статистической копии; a = E (X) – оцениваемый параметр; E (ã) = a – требование несмещённости оценивающей функции; D (ã) = min – требование, которому должна удовлетворять МД-оценка ã параметра a.

Построить: Линейную оценивающую функцию ã = = ∑ с_ix_i, т.е. найти такие c_i, которые обеспечат искомой оценивающей функции её несмещённость и минимальность дисперсии.

Решение: Трансформируем общие требования, предъявляемые к оценивающей функции, для конкретных условий данной задачи.

1. Несмещенность.

= = = E (X)∙ = E (X) → = 1. (195)

2. Минимальность дисперсии (МД-оценивание).

= = = s² = min. (196)

Теперь задача построения линейной несмещённой МД-оценки для математического ожидания сводится к нахождению таких коэффициентов c_i, которые удовлетворяли бы условиям (195) и (196) одновременно. Это задача на нахождение условного экстремума функции многих переменных по методу Лагранжа. Для её решения составим функцию Лагранжа:

φ = s² – 2l· ( - 1) = min. (197)

Необходимым условием существования экстремума такой функции является равенство нулю её частных производных по искомым аргументам:

∂ φ / ∂ c_i = 2s²· c_i – 2l = 0 → c_i =l / s². (198)

Неопределенный множитель Лагранжа «l» найдем из условия (195):

= /s² = n · l / s² = 1 → l = s² / n.

Итак, все коэффициенты линейной несмещенной МД-оценки математического ожидания одинаковы и равны

c_i = 1 / n.

Они действительно доставят функции (197) минимум, так как её производная (198) меняет знак в окрестности точки минимума с минуса на плюс:

2s²· (1 / (n +1) – 1 / n) < 0,

2s²· (1 / (n –1) – 1 / n) > 0.

Сама оценивающая функция ã принимает уже хорошо известный нам вид среднего арифметического:

ã = = = () / n = .

Теорема Чебышёва (2.4.2) и данный пример показывают, что среднее арифметическое – это состоятельная и несмещенная МД-оценка математического ожидания для любого закона распределения, имеющего конечное математическое ожидание. Для нормального закона, как это отмечалось выше, она будет ещё и эффективной оценивающей функцией.