Исследование выборочной дисперсии на несмещенность.

Применим условие несмещённости оценивающей функции (193) ко второму варианту записи выборочной дисперсии (176).

Дано: x ₁, x ₂, …, x_n – простая выборка из генеральной совокупности X; математическое ожидание каждого элемента выборки равно единому математическому ожиданию генеральной совокупности по принципу статистической копии: E (x_i) = E (X), и, естественно, = E (X ²); = s² > 0 – следствие равноточности измерений; s ² = () / n – – второй вариант формулы (176) для выборочной дисперсии.

Определить: E (s ²) = s² –?

Решение: Найдем математическое ожидание правой части оценивающей функции для выборочной дисперсии:

E (s ²) = E (() / n – ) = () / n – = (n ∙ – =

= – = s² + – s² / n – = s² (1 – 1 / n) ≠ s².

Таким образом, выборочная дисперсия s ² является смещённой (искажённой) оценкой генеральной дисперсии. Для устранения искажения достаточно умножить выборочную дисперсию на величину, обратную искажению:

s ²∙ n / (n – 1) = m ² = () / (n – 1). # (214)

Естественно, что теперь E (m ²) = s², т.е. m ² – несмещённая (не искажённая) оценка генеральной дисперсии. Величина m в геодезии, астрономии и смежных науках называется средней квадратической погрешностью (СКП), а формула (215) носит имя Бесселя, впервые получившего её:

m = , (215)

где [ v ²] = + +…+ , а v_i = - x_i.

Переход от величины m ² к СКП m по формуле (215) – операция нелинейная, что приводит к смещению m относительно стандарта s, т.е. E (m) ≠ s. С доказательством можно ознакомиться в [17] или [18]. Операция извлечения квадратного корня слабо искажает значения, близкие к единице. В связи с этим, на практике рекомендуется выражать НК-поправки v_i = - x_i в таком масштабе измерений, чтобы подкоренная дробь [ v ²] / (n – 1) мало отличалась от единицы.

3.2.3 Интервальные оценки.

Точечные оценки, рассмотренные в предыдущих параграфах, характеризуются нулевой вероятностью своего появления, оставаясь возможными событиями. Этот теоретический «недостаток» точечных оценок легко устраняется путем введения интервальных оценок.

Интервальная оценка параметра а представляет собой доверительный интервал (ДИ), определяемый двумя числами a _H и a _B: I _g = ] a _H; a _B[. Его нижняя (a _H) и верхняя (a _B) доверительные границы определяются с использованием точечной оценки ã и числового значения доверительной вероятности g или уровня значимости a = 1 – γ, назначаемым заранее.

Предполагается, что закон распределения оценивающей функции ã известен, например, в форме функции распределения F ( a ) = P (Ã < a ), где a – некоторый элемент спектра случайной величины Ã, для которой объективно существующее значение параметра а является её центром рассеивания. Таким образом, ã – является несмещённой оценивающей функцией: E (ã) = a. Доверительные границы a _H и a _B рассматриваются тоже как элементы спектра случайной величины Ã. Если, дополнительно, представить доверительные границы как уклонения от точечной оценки ã, введя расстояния ε _H и ε _B, такие что

a _H = ã – ε _H и a _B = ã + ε _B, (216)

то одинаковая доверительная вероятность g будет соответствовать двум следующим равновероятным событиям:

1) известная точечная оценка ã попадает с вероятностью g в доверительный интервал I _g, построенный относительно неизвестного положения параметра а:

g = P (a – ε _H < ã < a + ε _B) = 1 – a. (217)

2) доверительный интервал I _g, построенный относительно известной точечной оценки ã, накрывает неизвестный параметр а с вероятностью g:

g = P (ã – ε _H< a < ã + ε _B) = P (a _H < a < a _B) = 1 – a. (218)

Вероятность именно второго события (218) представляет интерес как с практической, так и с теоретической точек зрения.

Последнее выражение (218) иллюстрируется на графике функции распределения (рис. 3.3):

Рис. 3.3 Доверительный интервал.

(Положение параметра a остается неизвестным!)

Доверительный интервал может иметь одну границу конечной, а другую – открытой на бесконечность. В таком случае он называется односторонним, в отличие от обычного – двухстороннего.

Перейдем к построению границ доверительного интервала, основываясь на его аналитическом определении (218).

Дано: F ( a ) = P (Ã < a ) – функция распределения оценивающей функции ã, известная с точностью до своих параметров;

g или a = (1 - g) – доверительная вероятность или уровень значимости.

Найти: нижнюю a _н и верхнюю a _в границы доверительного интервала I _g.

Решение: Однозначное решение задачи возможно лишь при дополнительных ограничениях, т.к. выражение (218) содержит два неизвестных: a _н и a _в. Обычно, используются следующие ограничения:

1) фиксированная граница (нижняя либо верхняя);

2) равновероятность того, что накрываемый параметр окажется левее или правее границ доверительного интервала.

Односторонний интервал является частным случаем двухстороннего, в связи с чем, получим сначала общее решение, опираясь на уравнение (218):

P (a _н< a < a _в) = g = 1 – a = F (a _в) – F (a _н).

1. Зафиксировав сначала нижнюю границу a _н, а затем верхнюю a _в, выразим их друг через друга, что и даст нам искомое общее решение:

a _в = arg(F = F (a _н) + g), (219)

a _н = arg(F = F (a _в) – g). (220)

Для одностороннего доверительного интервала, у которого нижняя граница открыта на бесконечность, получим:

a _н → – ∞, т.е. F (a _н) = 0

, (221)

a _в = arg(F = g) = arg(F = 1 – a)

а для интервала, у которого верхняя граница бесконечно удалена:

a _в→ + ∞, т.е. F (a _в) = 1

. (222)

a _н = arg(F = 1 – g) = arg(F = a)

2. Симметричный доверительный интервал строится, исходя из равновероятности того, что накрываемый параметр окажется слева или справа за его пределами, т.е.

F (a _н) =1– F (a _в) =a /2=(1–g)/2,

откуда:

a _н = arg(F = (1 – g) / 2) = arg(F = a / 2)

. # (223)

a _в = arg(F = (1 + g) / 2) = arg(F = 1 – a / 2)