Построение доверительных границ при нормальном

распределении.

Формулы (221) – (223) позволяют находить доверительные границы, при условии, что функция распределения оценки известна. На практике очень широко используется нормальная функция распределения, т.к. многие оценивающие функции удовлетворяют условиям ЦПТ и, следовательно, имеют нормальное распределение. В такой ситуации за параметр положения нормальной функции распределения принимается точечная оценка ã, такая, что E (ã)= a, а за параметр её рассеивания – выборочный стандарт оценки s _ã . По этим данным можно перейти от элементов спектра оценивающей функции a_i к параметрам t_i стандартной нормальной функции распределения, выполняя нормирование:

t_i = (a_i – ã) / s _ã , (224)

где i – индекс границы (нижней или верхней). Из соотношения (224) получаем:

a _н = ã + t_н ∙ s _ã

a _в = ã + t _в∙ s _ã

t _н = arg(F = (1 – g) / 2) = arg(F = a / 2);

t _в = arg(F = (1 + g) / 2) = arg(F = 1 – a / 2).

При этом, в силу того, что стандартная нормальная функция распределения обладает известным свойством F (t) + F (– t) = 1, стандартизованные границы будут связаны между собой таким соотношением: t _н = – t _в = – t_P, где индекс P принимает значение либо доверительной вероятности g, либо уровня значимости a в зависимости от структуры таблиц.

Окончательно, границы симметричного двухстороннего доверительного интервала для нормально распределенной оценивающей функции, параметры которой оценены по выборочным данным, можно построить, объединив все полученные результаты:

a _н = ã – t_P ∙ s _ã

a _в = ã + t_P ∙ s _ã

Задача 3.4. Среднее арифметическое из 12 -и некоррелированных наблюдений угла равно =36^o52'47, 8″, а средняя квадратическая погрешность наблюдений, найденная по этим же данным по формуле Бесселя (215), равна m ″ = 0, 9″. Полагая обе оценки, распределенными нормально, построить с их помощью двухсторонние доверительные интервалы для математического ожидания и стандарта генеральной совокупности на уровне значимости a = 0, 05.

Решение.