Построение доверительных границ

по малым выборкам.

Предположение о нормальности распределения оценивающей функции справедливо тогда, когда оценка строится по выборке, объем которой составляет, по крайней мере, десятки наблюдений. Если же объем выборки не превышает полутора, двух десятков наблюдений, то распределение оценивающей функции может значительно отличаться от нормального и с этим необходимо считаться, чтобы получить более корректные значения доверительных границ. Предполагая, что мы имеем дело с выборкой из нормальной генеральной совокупности, рассмотрим некоторые распределения оценивающих функций, используемых для этих целей.

3.2.3.2.1 Распределение Пирсона.

Распределение Пирсона ( -распределение, хи-квадрат распределение с nстепенями свободы) – это распределение суммы квадратов n стандартных нормальных случайных величин X_i N (0; 1):

= + + … + . (227)

Не останавливаясь на выводе формулы плотности вероятности этого закона, отметим, что он является частным случаем двухпараметрического гамма-распределения [22]:

, . (228)

Для x < 0 плотность вероятности (228) равна нулю. В формуле (228) величина – это гамма-функция, являющаяся «трансцендентной функцией, распространяющей значения факториала на случай любого комплексного числа» [16]. Если α = n – натуральное число, то Γ (n) = (n – 1)!.

Первый параметр гамма-распределения a полагаем равным n /2, где n – число степеней свободы (целое положительное число). Второй параметр гамма-распределения b = 2. При этих условиях плотность вероятности -распределения принимает вид:

, . (229)

По определению (227) величина c² не может быть отрицательной. В связи с этим плотность (229) полагается равной нулю, когда c²< 0.

Функция распределения закона c² определяется, согласно (50) и с учётом (229), интегралом:

P (c²) = , (230)

таблица которого помещена в Приложении М. Эта таблица позволяет решать статистические задачи, связанные с распределением Пирсона. Например, дробь

= , (231)

где m ² – несмещенная выборочная дисперсия (214). Эта дробь характеризуется c² -распределением с (n – k) = r степенями свободы [22]. Здесь k –число оцениваемых параметров многомерного распределения. В случае простой выборки из одномерного распределения k = 1. Дробь (231) позволяет построить доверительный интервал для дисперсии s² генеральной совокупности Х:

(232)

и, несколько смещённый [17], доверительный интервал для стандарта s:

. (233)

Таблицы величин (Приложение Р) облегчают построение интервала (233) с границами

s _н= m ∙ l_н и s _в= m ∙ l_в. (234)