Распределение Стьюдента

Распределение Стьюдента (Стьюдент – псевдоним У. Госсета), или t -распределение, является законом распределения дроби [22]

t_n = x / ( / n)^1/2,

где x N (0; 1), а определяется выражением (227). Кривая плотности вероятности t -распределения симметрична относительно ординаты, проходящей через точку максимума. Уравнение плотности вероятности этой дроби – это функция единственного параметра n:

, . (235)

Функция плотности t -распределения является симметричной кривой, «хвосты» которой приподняты относительно «хвостов» нормальной кривой, а вершина, соответственно, «придавлена» (Рис.3.28).

Уравнение функции распределения Стьюдента выражается через плотность (235) по правилу (50):

F _Стьюд = S (t_{n , P} ) = P (T < t_{n, P}) = . (236)

Она позволяет строить симметричный двухсторонний доверительный интервал для математического ожидания аналогично решению этой задачи при нормальном распределении (3.2.3.1). Таблицы значений функции распределения (236) помещены в Приложении Н. Упомянутый выше доверительный интервал определяется [22] из соотношения

(237)

и имеет такие границы:

x _н = – ∙ t_{n -1; P}

x _в = + ∙ t_{n -1; P}

Задача 3.26. По данным предыдущей Задачи 3.25 построить двухсторонние доверительные интервалы для математического ожидания и стандарта генеральной совокупности, учитывая малый объем выборки.

Построение симметричного двухстороннего доверительного интервала для математического ожидания.

1. Из таблицы квантилей функции распределения Стьюдента (Приложение Н) находим для функции S = P (T < t_{n -1, P}) = a границу t _{11; 0, 05} = arg(S (t ₁₁) = =0, 05) = 2, 20.

2. По значению средней квадратической погрешности m вычисляем оценку стандарта среднего арифметического:

= m / = 0, 9″ / = 0, 26″.

3. По формулам (238) находим Стьюдентовские границы доверительного интервала для математического ожидания:

x _н = 36^o 52' 47, 8″ – 2, 2 ∙ 0, 26″ = 36^o 52' 47, 2″;

x _в = 36^o 52' 47, 8″ + 2, 2 ∙ 0, 26″ = 36^o 52' 48, 4″.

Итак, на том же уровне значимости a = 0, 05, для малой по объему выборки (число степеней свободы равно 11), получен более широкий (на 20% по сравнению с нормальным) двухсторонний доверительный интервал.