Проверка средних значений

2.1.1. Ситуация, когда среднее арифметическое по совокупности

m и дисперсия генеральной совокупности s² известны

В практической деятельности ситуация, когда m и s² генеральной совокупности уже известны, встречаются редко. Однако, такую ситуацию можно приближенно заменить ситуацией, при которой из многочисленных данных статистически управляемого технологического процесса можно определить среднее арифметическое и дисперсию. Ниже рассмотрим ситуацию, когда проверяют, действительно ли n -ное количество данных, которые считаются взятыми из генеральной совокупности, имеющей нормальное распределение, взяты из этой генеральной совокупности.

Порядок проверки гипотез:

1. Строят нулевую гипотезу (ее обозначают H₀).

H₀ : m₁ = m₂ (n -е количество данных взято из идентичной генеральной совокупности, имеющей нормальное распределение).

2. Выдвигают альтернативную гипотезу:

Н₁: m₁ ¹ m₂ (n -е количество данных было взято не из идентичной генеральной совокупности).

3. Выбирают тип распределения, исходя из гипотезы 1 принимают нормальное распределение N(m, s²).

4. Вычисляют статистическую оценку

(2.1)

5. Принимают решение о проведении двухсторонней либо односторонней проверки гипотез.

Разграничение области 5%, 1%-ного уровня значимости и т.д. называют областями отклонения гипотезы. На рис. 2.1 они заштрихованы. Эти области отклонения иногда берут по обе стороны распределения, а иногда по одну сторону. Например, в отличие от нулевой гипотезы

m₁ =m₂, если предположить, что альтернативная гипотеза будет m₁ ¹ m₂, то область отклонения берут с двух сторон, если же предположить, что она m₁ > m₂ или m₁ < m₂, то берут только с одной стороны. Такие проверки гипотез соответственно называют двухсторонней или односторонней проверкой.

6. Принимают решение отклонить или принять нулевую гипотезу.

После того, как в табл.1 Приложения будут найдены числовые значения величин, соответствующие 5% или 1%-ному уровню значимости, их сравнивают со статистическими оценками, полученными в результате вычислений, и выносится решение.

Если расхождения нулевая

значение ® не являются ® гипотеза

U₀ < U_a значимыми принимается

Если расхождения альтернативная

значение ® являются ® гипотеза

U_{0, 01} > U₀ > U_0.05 значимыми принимается

Если расхождения альтернативная

значение ® имеют высокую ® гипотеза

U₀ > U_0.01 степень значи- принимается

мости

Пример 2.1.

Выход годной продукции в технологическом процессе составлял: среднее арифметическое m = 85, 5%, среднее квадратическое отклонение s =4, 5%. После внесения в технологический процесс усовершенствований, собранные в течение четырех дней данные составили ` х = 93, 3%.

Уровень значимости	5%	1%
Тип распределения	Вид распределения	Двухсторонняя проверка	Односторонняя проверка	Двухсторонняя проверка	Односторонняя проверка
Нормальное распределение		a =0, 05	a =0, 10	a =0, 01	a =0, 02
t -распределение		a =0, 05	a =0, 10	a =0, 01	a =0, 02
F- распределение		a =0, 025	a =0, 05	a =0, 005	a =0, 01

Рис.2.1 Распределение и уровень значимости

Можно ли утверждать, что между первым и вторым случаем имеется расхождение?

Решение:

1. Н₀: m₁ = m₂

2. Н₁: m₁ ¹ m₂ (двухсторонняя оценка).

3. Среднее при n = 4 подчиняется нормальному распределению.

4. По формуле (2.1)

.

5. При сравнении с 1%-ным уровнем значимости получится

U₀ =3, 42 > U_0.01 = 2, 58. Следовательно, расхождение имеет высокую

степень значимости. Значения U_a, берут из табл.1 Приложения.

2.1.2. Ситуация, когда известно только среднее арифметическое

генеральной совокупности m

Поскольку дисперсия генеральной совокупности s² неизвестна, необходимо пользоваться ее предположительной оценкой, исходя из выборочных данных. А именно, осуществляют проверку над m, используя и основываясь на t -распределении (Стьюдента):

1. Строят нулевую гипотезу:

Н₀: m₁ = m₂.

2. Строят альтернативную гипотезу:

Н₁: m₁ ¹ m₂ (двухсторонняя проверка),

m₁ > m₂ или m₁ < m₂ (односторонняя проверка).

3. Выбирают распределение для проверки статистических оценок.

Поскольку s неизвестно, проводят проверку, используя s_е и основываясь на t- распределении.

3. Вычисляют статистические оценки

. (2.2)

5. Сравнивая значение из таблицы t -распределения (для соответствующей степени свободы Ф = n -1 и уровня значимости a) и значение t₀, принимают решение.

Если t₀ > t_{(Ф; 0.05)}, то различие имеет место, поскольку уровень значимости 5%-ный.

Если t₀ > _{t(Ф; 0.01)}, то имеет место существенное различие, поскольку уровень значимости 1%-ный.

Пример 2.2.

До сих пор выход годной продукции в технологическом процессе в среднем составлял 85, 5%. После того, как технологический процесс был усовершенствован, данные, собранные за 10-дневный срок, позволили получить следующие цифровые значения:

Можно ли утверждать, что выход годной продукции увеличился?

Решение:

1. Н₀: m₁ = m₂

2. Н₁: m₁ < m₂ (односторонняя проверка).

3. Определяют среднее арифметическое выборки .

Определяют сумму квадратов S по зависимости (1.3):

Определяют среднее квадратическое отклонение s_е (1.10):

4. Определяют t₀ по формуле (2.2):

5. Сравнивают со значениями из таблицы t -распределения. Эта проверка является односторонней, поскольку проверяется: " Можно ли утверждать, что объем выхода годного увеличился? ". По табл.2 Приложения определяют t_{Ф, a} = tg₉; _0.02 = 2, 821.Так как

t₀ = 10, 52 > t_{Ф, a} = 2, 821, то можно утверждать, что выход годного

существенно увеличился.