Интервальная оценка.

2.4.1. Ситуация, когда дисперсия генеральной совокупности

s² уже известна

Если определить среднее арифметическое в выборке объемом n, взятой методом случайного отбора образцов из нормальной генеральной совокупности со средним арифметическим m и дисперсией s² и нормировать его, то выражение (2.1) подчинится нормальному распределению со средним значением m = 0 и дисперсией s² = 1.

Приняв значение U, соответствующее уровню значимости a, за U_a, получают, что вероятность неравенства

< < (2.8)

будет (1- a). Видоизменив эту формулу, получают нижнюю границу и верхнюю границу нахождения среднего арифметического m. Это и есть доверительный интервал.

Пример 2.5.

Известно, что среднее арифметическое отклонение массы изделий, изготовленных неким технологическим процессом, составляет

s =3, 5 г. Далее в результате измерения массы этих изделий в выборке объемом n= 4, извлеченной случайным отбором, было получено г. Предлагается сделать интервальную оценку среднего арифметического для массы в генеральной совокупности при доверительной вероятности 99%.

Решение.

Поскольку 1 - a = 0, 99, то a = 0, 01. По табл.1 Приложения находим U_{0, 01} = 2, 576.

Нижняя граница г.

Верхняя граница г.

Таким образом, среднее арифметическое генеральной совокупности находится в интервале 58, 3 < m < 72, 5 г.

2.4.2. Ситуация, когда дисперсия генеральной совокупности s²

неизвестна

Если дисперсия генеральной совокупности s² неизвестна и при этом использовать выражение (1.10), то определенное при помощи выражения (2.2) распределение статистической величины t принимает распределение Стьюдента при числе степеней свободы Ф = n - 1. Доверительный интервал, обусловленный вероятностью (1 - a), выражают:

< < (2.9)

причем доверительные границы

(2.10)

Пример 2.6.

Для того, чтобы узнать величину поводки, полученную при термообработке штампованных деталей, была взята выборка n = 10 и получены = 0, 085 мм, s_е = 0, 042 мм.

Необходимо определить границы 95%-ного доверительного интервала для величины поводки этих деталей.

Решение.

Доверительные границы

Доверительный интервал 0, 054 мм - 0, 116 мм.