![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Свободная частица, движущаяся вдоль оси хСтр 1 из 17Следующая ⇒
Глава 30 Уравнение Шредингера Вот мы и подошли к настоящей квантовой механике. Все, что было досих пор это интуитивные полуклассические представления, позво- Лившие инкорпорировать в классическую физику идеи физики кванто-вой. Но этот уровень знаний недостаточен для расчетов, количествен-ных предсказаний многих явлений. Требуется стройная система, те-ория движения (или распространения) микрочастиц с дуальными (волна-корпускула) свойствами.
• Волна вероятности
Предыдущая глава закончилась констатацией, что мы пока не устано-вили, что именно колеблется при движении электрона. В истории фи-зики такое уже случалось. Когда-то при выводе уравнений электроди-намики Максвелл тоже не знал, что представляют собой описываемыеими колебания и волны, но уравнения оказались верны. Поэтому отло-жим пока вопрос о физической природе волн де Бройля и просто введемнекую ``электронную'' волну, т.е. функцию Представим мысленно эксперимент В. А. Фабриканта, в котором элек-троны поочередно направлялись на кристалл, играющий роль дифракци-онной решетки. За кристаллом помещена фотопластинка, на которой вконце концов возникают типичные дифракционные кольца. Из классиче-ской физики известно, какие математические средства описывают такуюкартину: обычное сложение интерферирующих волн, интенсивности ко-торых пропорциональны | Правда, в отличие от обычной волны электрон не делится на части: 30.1. Волна вероятности 127 при прохождении электронов через кристалл каждый из них попадаетв какую-то одну точку на фотопластинке, вызывая почернение именноздесь и нигде больше. В этом проявляются свойства электрона как ча-стицы. Несмотря на одинаковые начальные условия электроны, как по-казал опыт, попадают в разные точки. О данном конкретном электронезаранее неизвестно, в какую именно точку на пластинке он попадет. Вэтом проявляются его волновые свойства. Дифракционная картина воз-никает, когда через кристалл пройдет достаточно много таких электро-нов. Интенсивность почернения пластинки в данной точке пропорцио-нальна числу попавших туда частиц, то есть вероятности попадания. В классической же физике почернение пластинки определяется интен-сивностью волны, то есть квадратом модуля волновой функции. Выхо-дит, что | Итак, вероятность найти электрон в точке Иными словами, | Интегрирование в ведется по объему v (в случае одномерного дви-жения --- по отрезку). Полная вероятность найти частицу хоть где-нибудь в пространстве должна быть равна единице. Отсюда --- так на-
dW = |
Глава 30. Уравнение Шредингера зываемое условие нормировки волновой функции: такой же интеграл повсему пространству равен единице, т.е. Замечание: выполнение этого условия возможно для тех задач, в кото-рых классическая частица движется в ограниченной области простран-ства (финитное движение). Для других движений условие нормировкиусложняется. Наблюдаемые физические величины должны описываться действитель-ными числами и функциями. Соответственно, мы представляли класси-ческие волны (звуковые, электромагнитные) в виде
e-i где i=
Волновая функция является главным объектом изучения в квантовой ме-ханике. Говоря о каком-то состоянии в классической физике, мы подра-зумевали, что в момент времени t = 0 частица имела некие положение и 30.2. Общее уравнение Шредингера 129 скорость (импульс), а дальнейшая ее судьба предопределена уравнениямидвижения Ньютона. Состояние в квантовой механике имеет иной смысл: в момент времени t = 0 задана волновая функция, изменение которой регулируется пока неизвестным нам уравнением (Шредингера). В этом смысле теперь пони-мается причинность: в классике --- точные предсказания положений искоростей, в квантовой механике --- предсказания состояний (волновыхфункций). Уравнения новой физики (в данном случае --- уравнение Шре-дингера) никогда не выводятся логически из прежних принципов (иначеэто будет не новая теория, а следствие старой). Но квантовомеханическоеуравнение должно иметь некие классические корни, поскольку классиче-ская механика хороша в области своей применимости. Далее мы приве-дем не вывод, но наводящие соображения. Свободной частице соответствует волна де Бройля, которую мы запи-сываем в виде классической плоской волны:
где модуль волнового вектора к связан с длиной волны соотношением k =2
и по пространственной координате х
Такие же уравнения возникнут при дифференцировании по у и z. Повто-ряя дифференцирование по координатам, получаем:
Складывая с аналогичными уравнениями для вторых производных по у и 2, приходим к соотношению:
Глава 30. Уравнение Шредингера где знаком
В этом месте возникает различие между релятивистским и нереля-тивистским случаями. Квантовая механика --- нерелятивистская те-ория., в которой Е =
Это уравнение вполне бы нас устроило, но написано оно пока толькодля свободной частицы. Легко понять, как должно выглядеть уравнениедля системы с постоянным значением U0 потенциальной энергии. Полнаяэнергия равна сумме
так что получаем
В случае частицы, находящейся в произвольном потенциальном полевблизи точки
Это и есть основное уравнение квантовой механики --- знаменитоеуравнение Шредингера. Подчеркнем еще раз, что вывести его строгоневозможно, но можно угадать, исходя из наводящих соображений. Соот-ветствие уравнения и его следствий физической реальности проверяетсяэкспериментально. Подчеркнем некоторые свойства: Уравнение Шредингера по сути есть аналог классического соотноше-ния между полной энергией Е частицы и ее кинетической энергией 30.3. Операторы, симметрия и законы сохранения 131 Мы уже знаем, что полной энергии соответствует производная по t, компонентам импульса --- производные по x, у, z, а кинетическойэнергии --- вторые производные по пространственным координатам, поскольку импульс входит в нее во второй степени. Классическойпотенциальной энергии, как мы видим, в квантовой механике соот-ветствует обычное произведение U( Заметим, что уравнение Шредингера линейно по искомой волновой функ-ции. Отсюда сразу же вытекает, что
• если (t,
• если 2 (t, 2 (t,
• Операторы, симметрия и законы сохранения
Итак, состояние электрона описывается теперь волновой функцией (t,
E +U
Глава 30. Уравнение Шредингера Здесь
квадрат которого дает оператор Лапласа / / / В этих обозначениях уравнение Шредингера имеет вид:
Оператор полной энергии
Очень важно! В классической механике законы сохранениясвязаны с симметрией системы: энергия --- с трансляцией (сдви-гом) времени t > t + ).
Трансляцию какой-то обобщенной координаты производит оператордифференцирования по этой координате. Например, для бесконечно ма-лой трансляции q> q+
Поэтому не случайно в квантовой механике полной энергии соответствует t, а импульсу --- градиент 30.4. Стационарное уравнение Шредингера 133
дифференцирования рпо углу поворота вокруг этой оси:
• Стационарное уравнение Шредингера
В теории операторов важную роль играют так называемые собствен-ные состояния операторов. Это такие состояния, которые при действииданного оператора меняются тривиальным образом: умножаются на не-которое число. Это число называется собственным значением данногооператора, соответствующим данному собственному состоянию. Чтобынайти собственные состояния и собственные значения какого-то опера-тора А надо решить уравнение
А п(t,
где индекс п отличает одно решение от другого. Набор величин Ап, тоесть набор собственных значений оператора А, определяет его свойства. Пример: операция поворота вокруг некоторой оси 2. Роль состоя-ний играют здесь обычные радиус-векторы. Очевидно, что при поворотевсе векторы меняются, кроме параллельных оси. Это и есть собствен-ные векторы оператора поворота вокруг оси 2, причем соответствующеесобственное значение равно единице. Аналогичны выводы для поворотавокруг осей ж и у. Произвольный поворот можно получить комбина-цией этих трех поворотов. Соответственно, любой радиус-вектор можнопредставить как линейную комбинацию трех собственных векторов г, ], к. Ситуация с другими операторами по сути ничем не отличается от опи-санной: зная набор собственных состояний любое другое состо- яние
Связь математики с физикой реализуется в следующем правиле:
Правило 2 Измерение некой физической величины А всегда дает лишьодно из собственных значений Ап соответствующего ей оператора А.Вероятность получить при измерении именно значение Ап определя-ется состоянием системы (а именно, квадратом модуля \ Сп\ 2 соот-ветствующего коэффициента в разложении).
Глава 30. Уравнение Шредингера Следствие: в собственном состоянии е оператора полнойэнергии. Уравнение, согласно сказанному, имеет вид:
откуда следует решение
Мы получили общий вид состояния, в котором энергия имеет опреде-ленное значение. Такие состояния называются стационарными. Есте-ственно, пока невозможно сказать, чему равна энергия стационарногосостояния, поскольку мы еще не указали рассматриваемую физическуюсистему. В уравнении стоит некая функция т.е. в стационарном состоянии плотность вероятности не зависит от вре-мени. В этом смысле и следует понимать название ``стационарное''. Под-ставляя решение в общее уравнение Шредингера, получимт.н. стационарное уравнение Шредингера, т.е. уравнение для Подчеркнем: это --- уравнение для состояний с определенной энергиейЕ. В операторных обозначениях оно имеет вид Не следует думать, что система может быть только в стационарномсостоянии. Возьмем характерный пример: пусть 30.5. Уравнение Шредингера для простейших систем 135 и Е2. Предположим, что в начальный момент времени волновая функциясистемы является симметричной суперпозицией этих состояний: Вопрос: что будет с системой в произвольный момент t Зная, что справедлив принцип суперпозиции и что зависимость соб-ственных состояний от времени определяется соотношениями типа, можно сразу же написать волновую функцию: Плотность вероятности такого состояния зависит от времени! Введемобозначения для средней энергии Е = ( вместо: Видно, что в момент t = 0 система находится в симметричном со-стоянии, к моменту времени t =
• Уравнение Шредингера для простейших систем
Свободная частица, движущаяся вдоль оси х
Потенциальная энергия равна нулю (U(х) = 0), и производные по у и zв операторе Лапласа исчезают. Уравнение принимает вид:
Введем волновой вектор k: Е = h2k2 / 2m, и перепишем уравнение в виде
Глава 30. Уравнение Шредингера Существует, как известно, два линейно независимых решения, так что общее решение есть суперпозиция волн: стоячих (первый член --- волна направо, второй --- налево; постоянные А и В произвольны). Аналогия: такие же решения описывают колебания сво-бодной струны. Поскольку возможны волны с произвольной частотой, то струна не звучит (т.е. энергия частицы не квантуется). Для ча-стицы, движущейся в произвольном направлении вдоль волнового век-тора При решении большинства задач квантовой механики следует обра-тить внимание, что волновая функция должна быть непрерывной --- ве-роятность пребывания частицы не может меняться скачком от точки кточке. Если потенциал конечен, то из уравнения Шредингера следует, что первая производная также непрерывна.
|