Свободная частица, движущаяся вдоль оси х

Глава 30

Уравнение Шредингера

Вот мы и подошли к настоящей квантовой механике. Все, что было досих пор это интуитивные полуклассические представления, позво-

Лившие инкорпорировать в классическую физику идеи физики кванто-вой. Но этот уровень знаний недостаточен для расчетов, количествен-ных предсказаний многих явлений. Требуется стройная система, те-ория движения (или распространения) микрочастиц с дуальными (волна-корпускула) свойствами.

• Волна вероятности

Предыдущая глава закончилась констатацией, что мы пока не устано-вили, что именно колеблется при движении электрона. В истории фи-зики такое уже случалось. Когда-то при выводе уравнений электроди-намики Максвелл тоже не знал, что представляют собой описываемыеими колебания и волны, но уравнения оказались верны. Поэтому отло-жим пока вопрос о физической природе волн де Бройля и просто введемнекую ``электронную'' волну, т.е. функцию . О ней мы знаем покатолько одно: волновая функция должна описывать результаты опытов, доказывающих волновые свойства электронов (дифракцию и т.п.).

Представим мысленно эксперимент В. А. Фабриканта, в котором элек-троны поочередно направлялись на кристалл, играющий роль дифракци-онной решетки. За кристаллом помещена фотопластинка, на которой вконце концов возникают типичные дифракционные кольца. Из классиче-ской физики известно, какие математические средства описывают такуюкартину: обычное сложение интерферирующих волн, интенсивности ко-торых пропорциональны | 2.

Правда, в отличие от обычной волны электрон не делится на части:

30.1. Волна вероятности

127

при прохождении электронов через кристалл каждый из них попадаетв какую-то одну точку на фотопластинке, вызывая почернение именноздесь и нигде больше. В этом проявляются свойства электрона как ча-стицы. Несмотря на одинаковые начальные условия электроны, как по-казал опыт, попадают в разные точки. О данном конкретном электронезаранее неизвестно, в какую именно точку на пластинке он попадет. Вэтом проявляются его волновые свойства. Дифракционная картина воз-никает, когда через кристалл пройдет достаточно много таких электро-нов. Интенсивность почернения пластинки в данной точке пропорцио-нальна числу попавших туда частиц, то есть вероятности попадания.

В классической же физике почернение пластинки определяется интен-сивностью волны, то есть квадратом модуля волновой функции. Выхо-дит, что | 2 пропорционален вероятности обнаружить электрон вточке в момент времени t. Волна де Бройля --- это волна вероятно-сти! Отдельный акт взаимодействия электрона с кристаллом остаетсяотдельным актом (электрон-частица), но результат его можно предска-зать только вероятностно, статистически (электрон-волна). В этом ---смысл корпускулярно-волнового дуализма. Квантовая механика созданав 1925-27 гг. В. Гейзенбергом и Э. Шредингером; вероятностная ин-терпретация волновой функции дана чуть позже в работах М. Борна ишколы Н. Бора.

Итак, вероятность найти электрон в точке должна быть пропорци-ональна | 2. Но вероятность обнаружить электрон точно в данномместе исчезающе мала; имеет смысл говорить лишь о его попадании вмалый объем dV, окружающий эту точку. Ясно, что вероятность dWобнаружить там электрон пропорциональна величине объема. Поэтомудля вероятности имеем

Иными словами, | 2--- плотность вероятности найти частицу вточке с координатой . Вероятность W ( v ) найти частицу в каком-токонечном объеме v вычисляется с помощью сложения вероятностей, т.е.интегрированием

Интегрирование в ведется по объему v (в случае одномерного дви-жения --- по отрезку). Полная вероятность найти частицу хоть где-нибудь в пространстве должна быть равна единице. Отсюда --- так на-

dW = | 2 dV.

Глава 30. Уравнение Шредингера

зываемое условие нормировки волновой функции: такой же интеграл повсему пространству равен единице, т.е.

Замечание: выполнение этого условия возможно для тех задач, в кото-рых классическая частица движется в ограниченной области простран-ства (финитное движение). Для других движений условие нормировкиусложняется.

Наблюдаемые физические величины должны описываться действитель-ными числами и функциями. Соответственно, мы представляли класси-ческие волны (звуковые, электромагнитные) в виде = A0cos( t- r

e-i = соs --- i sin ,

где i= --- мнимая единица. Тогда ту же волну можно было быпредставить в виде действительной части выражения:

Волновая функция является главным объектом изучения в квантовой ме-ханике. Говоря о каком-то состоянии в классической физике, мы подра-зумевали, что в момент времени t = 0 частица имела некие положение и

30.2. Общее уравнение Шредингера

129

скорость (импульс), а дальнейшая ее судьба предопределена уравнениямидвижения Ньютона.

Состояние в квантовой механике имеет иной смысл: в момент времени t = 0 задана волновая функция, изменение которой регулируется пока неизвестным нам уравнением (Шредингера). В этом смысле теперь пони-мается причинность: в классике --- точные предсказания положений искоростей, в квантовой механике --- предсказания состояний (волновыхфункций). Уравнения новой физики (в данном случае --- уравнение Шре-дингера) никогда не выводятся логически из прежних принципов (иначеэто будет не новая теория, а следствие старой). Но квантовомеханическоеуравнение должно иметь некие классические корни, поскольку классиче-ская механика хороша в области своей применимости. Далее мы приве-дем не вывод, но наводящие соображения.

Свободной частице соответствует волна де Бройля, которую мы запи-сываем в виде классической плоской волны:

= .

где модуль волнового вектора к связан с длиной волны соотношением k =2 / , а С --- амплитуда. Мы использовали уже известную связьэнергии и импульса частицы с частотой и длиной волны де Бройля. Ис-комое уравнение для волновой функции не должно содержать Е и р, таккак это --- характеристики конкретного состояния частицы. Попробуемнайти операции над волновой функцией свободной частицы, позволяю-щие исключить параметры Е и . Имеем для производной по времени

и по пространственной координате х

.

Такие же уравнения возникнут при дифференцировании по у и z. Повто-ряя дифференцирование по координатам, получаем:

Складывая с аналогичными уравнениями для вторых производных

по у и 2, приходим к соотношению:

Глава 30. Уравнение Шредингера

где знаком обозначен оператор Лапласа:

В этом месте возникает различие между релятивистским и нереля-тивистским случаями. Квантовая механика --- нерелятивистская те-ория., в которой Е = 2 / 2m. Это классическое соотношение позволяетсвязать дифференцирование по времени в с дифференцированиемпо пространственным координатам в и тем самым исключить изуравнения зависимость от энергии и импульса частицы:

Это уравнение вполне бы нас устроило, но написано оно пока толькодля свободной частицы. Легко понять, как должно выглядеть уравнениедля системы с постоянным значением U0 потенциальной энергии. Полнаяэнергия равна сумме

так что получаем

В случае частицы, находящейся в произвольном потенциальном полевблизи точки потенциальную энергию можно считать постоянной ве-личиной U ( ), так что искомое обобщение почти с очевидностью следуетиз уравнения:

Это и есть основное уравнение квантовой механики --- знаменитоеуравнение Шредингера. Подчеркнем еще раз, что вывести его строгоневозможно, но можно угадать, исходя из наводящих соображений. Соот-ветствие уравнения и его следствий физической реальности проверяетсяэкспериментально. Подчеркнем некоторые свойства:

Уравнение Шредингера по сути есть аналог классического соотноше-ния между полной энергией Е частицы и ее кинетической энергией 2/2т. Для свободной частицы они совпадают. При наличии потен-циального поля это соотношение принимает вид Е = 2/2т + U( ).

30.3. Операторы, симметрия и законы сохранения

131

Мы уже знаем, что полной энергии соответствует производная по t, компонентам импульса --- производные по x, у, z, а кинетическойэнергии --- вторые производные по пространственным координатам, поскольку импульс входит в нее во второй степени. Классическойпотенциальной энергии, как мы видим, в квантовой механике соот-ветствует обычное произведение U( ) на волновую функцию.

Заметим, что уравнение Шредингера линейно по искомой волновой функ-ции. Отсюда сразу же вытекает, что

• если ? r ?

(t, )--- также егорешение при любой константе А. Следовательно, подбором постоян-ной А можно добиться выполнения условия нормировки;

• если ? r ?

2 (t, )--- решения уравнения Шредингера, то линей-ная комбинация A1 ? r ?

2 (t, ) --- также его решение (принципсуперпозиции, т.е. основа явления интерференции).

• Операторы, симметрия и законы сохранения

Итак, состояние электрона описывается теперь волновой функцией ? r ?

(t, ). Из уравнения Шредингера видно, чтооно воспроизводит связь Е = Т + U полной энергии Е с кинетической Т и потенциальной U, но классические величины заменены на операторы, действующие на волновую функцию Ф. Будем обозначать оператор темже символом, что и классическую величину, снабжая его для отличияшляпкой. Тогда уравнение Шредингера можно записать в опера-торной форме, в которой отчетливо видна его связь с энергетическимисоотношениями классической физики:

E ? ?

+U ?

Глава 30. Уравнение Шредингера

Здесь --- оператор градиента с компонентами:

квадрат которого дает оператор Лапласа . Оператор координаты сводится к простому умножению ? r r r p r р ?

/ ? p ?

/ ? p ?

/ ? р r

В этих обозначениях уравнение Шредингера имеет вид:

Оператор полной энергии называется гамильтонианом (аналог функ-ции Гамильтона в теоретической механике).

Очень важно! В классической механике законы сохранениясвязаны с симметрией системы: энергия --- с трансляцией (сдви-гом) времени t > t + t, импульс --- с трансляцией пространства > + г

).

Трансляцию какой-то обобщенной координаты производит оператордифференцирования по этой координате. Например, для бесконечно ма-лой трансляции q> q+ q имеем по определению производной

Поэтому не случайно в квантовой механике полной энергии соответствует ? ?

t, а импульсу --- градиент . Аналогично: оператор проекции мо-мента количества движения на какую-то ось z пропорционален оператору

30.4. Стационарное уравнение Шредингера

133

дифференцирования ? ?

рпо углу поворота вокруг этой оси:

• Стационарное уравнение Шредингера

В теории операторов важную роль играют так называемые собствен-ные состояния операторов. Это такие состояния, которые при действииданного оператора меняются тривиальным образом: умножаются на не-которое число. Это число называется собственным значением данногооператора, соответствующим данному собственному состоянию. Чтобынайти собственные состояния и собственные значения какого-то опера-тора А надо решить уравнение

А ? r ?

п(t, ),

где индекс п отличает одно решение от другого. Набор величин Ап, тоесть набор собственных значений оператора А, определяет его свойства.

Пример: операция поворота вокруг некоторой оси 2. Роль состоя-ний играют здесь обычные радиус-векторы. Очевидно, что при поворотевсе векторы меняются, кроме параллельных оси. Это и есть собствен-ные векторы оператора поворота вокруг оси 2, причем соответствующеесобственное значение равно единице. Аналогичны выводы для поворотавокруг осей ж и у. Произвольный поворот можно получить комбина-цией этих трех поворотов. Соответственно, любой радиус-вектор можнопредставить как линейную комбинацию трех собственных векторов г, ], к. Ситуация с другими операторами по сути ничем не отличается от опи-санной: зная набор собственных состояний любое другое состо-

яние ? r

Связь математики с физикой реализуется в следующем правиле:

Правило 2 Измерение некой физической величины А всегда дает лишьодно из собственных значений Ап соответствующего ей оператора А.Вероятность получить при измерении именно значение Ап определя-ется состоянием системы (а именно, квадратом модуля \ Сп\ 2 соот-ветствующего коэффициента в разложении).

Глава 30. Уравнение Шредингера

Следствие: в собственном состоянии ? r ?

е оператора полнойэнергии. Уравнение, согласно сказанному, имеет вид:

откуда следует решение

Мы получили общий вид состояния, в котором энергия имеет опреде-ленное значение. Такие состояния называются стационарными. Есте-ственно, пока невозможно сказать, чему равна энергия стационарногосостояния, поскольку мы еще не указали рассматриваемую физическуюсистему. В уравнении стоит некая функция ?

т.е. в стационарном состоянии плотность вероятности не зависит от вре-мени. В этом смысле и следует понимать название ``стационарное''. Под-ставляя решение в общее уравнение Шредингера, получимт.н. стационарное уравнение Шредингера, т.е. уравнение для ? r

Подчеркнем: это --- уравнение для состояний с определенной энергиейЕ. В операторных обозначениях оно имеет вид = E , то естьпредставляет собой уравнение для собственных состояний гамильтони-ана. Задавая тот или иной вид потенциальной энергии, мы конкретизи-руем систему и получаем стационарное уравнение Шредингера, решениякоторого и описывают квантовые свойства системы.

Не следует думать, что система может быть только в стационарномсостоянии. Возьмем характерный пример: пусть и --- два не-ких стационарных состояния какой-то системы с разными энергиями E1\