![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Частица в бесконечно глубокой потенциальной яме
Потенциал в этой задаче имеет вид: Такая система соответствует частице, движущейся вдоль прямой линиии отскакивающей от абсолютно отражающих препятствий в точках х = 0и х = l. В область бесконечного потенциала частица проникнуть не мо-жет, следовательно (х) = Аsin(kх) + Вcos(кх ). Используем сначалапервое граничное условие:
Asin(kx)+Bcos(kx)
или бегущих Аеiкх + Вei-кх если 0
(х) = Аsin(кх). Если продолжить нашу аналогию, то можно сказать, что на струне, закрепленной в одной точке, бегущих волн не бывает: отражение от неподвижной точки обязательно порождает стоячую волну.Однако на длину волны никаких ограничений не накладывается: такаяструна также не звучит. Теперь наложим второе из граничных условий:
(х) = 0, чтоозначает отсутствие частицы в яме (вероятность найти ее всюду равнанулю). Поэтому нас интересует второе решение, когда sin (kl) = 0. Этовозможно лишь при некоторых значениях волнового вектора: kп =
Мы получили квантование энергии, то есть наша ``струна'', закрепленнаяс обеих сторон, зазвучала, так как появились выделенные частоты. Подставляя найденные разрешенные значения волнового вектора в вы-ражение для волновой функции, получаем ее в виде:
Смысл квантового числа п: оно на единицу больше числа нулей вол-новой функции. Значение постоянной А = у/2/7 определено из условиянормировки (см. задачи в последнем разделе этой главы). Откуда же берется дискретность уровней энергии, характерная и дляатома? Сравним со свободной частицей: уравнения те же, но с инымиграничными условиями! Здесь возможны две постановки задачи. В пер-вом случае исследуется состояние, которому в классике соответствовалобы инфинитное движение (задача рассеяния). Обычно в таких случаяхрешения возможны при любых значениях энергии Е (как говорят, спектр непрерывен ). Во втором случае исследуется состояние, которому в клас-сике соответствует финитное движение в ограниченной области про-странства (задача на связанные состояния). Требование конечности вол-новой функции во всем пространстве ведет к квантованию энергии. Глава 30. Уравнение Шредингера Подчеркнем: в этом случае стационарное уравнение имеет физическиприемлемые решения не всегда, а лишь при некоторых значениях Е. Какследствие возникает дискретный спектр энергии системы. Задача 30.21. Определить разность соседних уровней энергии Решение. Используя выражение для уровней энергии частицыв потенциальной яме, находим разность энергий соседних уровней
при больших значениях п. Кинетическая энергия поступательного дви-жения молекул азота равна Е = 3
Уже само по себе это число говорит, что мы находимся в области крайневысоких возбуждений, то есть в области справедливости классическихзаконов. Разность соседних уровней получаем, подставляя в формулудля
В электронвольтах те же характеристики имеют значения Е
|