Главная страница
Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Дифференциальное исчисление функции многих переменных
В данном разделе рассмотрим применение аппарата Maple к вычислению частных производных и нахождению экстремумов функции многих переменных. Встроенная в ядро Maple функция дифференцирования diff применима к функции многих переменных . Ее формат для вычисления частной производной ( ) имеет вид:
[> diff(f(x), x1$k1, …, xn$kn);
Пример 2.2. Дана функция . Найти частные производные первого и второго порядков, проверить справедливость равенства смешанных производных второго порядка.
[> z: =cos(x*x+y)-exp(x-y*y);
/задаем функцию/
[> dzdx: =diff(z, x); dzdy: =diff(z, y);
/вычисляем частные производные первого порядка/
[> d2zdx2: =diff(z, x$2); d2zdy2: =diff(z, y$2);
/вычисляем частные производные второго порядка/
[> d2zdxdy: =diff(z, x, y); d2zdydx: =diff(z, y, x);
/вычисляем смешанные производные второго порядка/
[> evalb(d2zdxdy=d2zdydx);
/проверяем равенство смешанных производных/
|
Безусловные экстремумы функции переменной находятся с помощью встроенной процедуры ехtrema:
[> ехtrema(f(x), {}, {переменные});
Однако эта функция, как мы увидим из примера, дает только точки, подозрительные на экстремум. Для точного ответа на вопрос об экстремуме необходимо исследовать функцию с помощью известного критерия Сильвестра.
Пример 2.3. Исследовать на безусловный экстремум функцию
.
Рабочий лист Maple имеет вид:
[> z: =2*x[1]^2-4*x[1]*x[2]+2*x[2]^2-x[1]^4-x[2]^4:
[> plot3d(z, x[1]=-2..2, x[2]=-2..2);
/строим график целевой функции/
/из графика функции видно, что она имеет две точки максимума/
[> extrema(z, {}, {x[1], x[2]});
/вычисляем возможные экстремумы/
[> dzdx1: =diff(z, x[1]); dzdx2: =diff(z, x[2]);
/вычисляем частные производные первого порядка/
[> fsolve({dzdx1=0, dzdx2=0}, {x[1], x[2]});
/вычисляем точку возможного экстремума, пользуясь необходимым признаком точки экстремума/
[> d2zdx12: =diff(z, x[1]$2); d2zdx22: =diff(z, x[2]$2); d2zdx1dx2: =diff(z, x[1], x[2]);
/вычисляем частные производные второго порядка/
[> Gesse: = Matrix(2, 2, [[d2zdx12, d2zdx1dx2], [d2zdx1dx2, d2zdx22]]); /строим матрицу Гессе частных производных второго порядка /
/Ниже исследуется точка возможного экстремума с помощью критерия Сильвестра/
[> x[1]: =1.414213562: x[2]: =-1.414213562: Gesse; Delta[1]: =
Gesse[1, 1]; Delta[2]: =Gesse[1, 1]*Gesse[2, 2]-Gesse[1, 2]^2;
| Согласно критерию Сильвестра точка является точкой максимума функции. Вторая точка также является точкой максимума функции (матрица Гессе в ней имеет такой же вид).
Исследуем точку с помощью критерия Сильвестра.
[> x[1]: =0: x[2]: =0: Gesse; Delta[1]: =Gesse[1, 1];
Delta[2]: =Gesse[1, 1]*Gesse[2, 2]-Gesse[1, 2]^2;
[> restart; z: =2*x[1]^2-4*x[1]*x[2]+2*x[2]^2-x[1]^4-x[2]^4:
| Главный минор матрицы Гессе равен нулю, следовательно, необходимо проводить дополнительные исследования. Ниже показано, что при:
, : ,
: .
В достаточно малой окрестности точки функция меняет свой знак (при этом ), и точка не является точкой экстремума.
[> x[1]: =0: z; solve(z> =0, x[2]);
[> x[1]: =x[2]: z; solve(z< 0, x[2]);
|
Условные экстремумы функции многих переменных находятся с помощью той же процедуры ехtrema, только в фигурных скобках {} указываются ограничения (уравнения связи) на переменные .
Известно, что задача на условный экстремум ставится так: найти точку условного экстремума (максимума или минимума) функции , если на переменные накладываются дополнительные ограничения (уравнения связи): ( ).
Пример 2.4. Найти точку условного экстремума функции
,
где переменные удовлетворяют уравнениям связи

|