Описание пакета Optimization

Пакет Optimization, входящий в состав Maple, предназначен для решения оптимизационных задач. Он загружается в память с помощью команды

[> with(Optimization);

Как видно, в состав этого пакета входят 8 процедур и функций. Описание наиболее важных из них приведено в табл. 4.1.

Таблица 4.1.

Пусть даны целевая функция переменной ( – управляющие переменные, ) и система из ограничений, выраженных неравенствами (равенствами)

(4.1)

Ниже приведены варианты использования процедуры Maximize при решении различных оптимизационных задач:

[> Maximize(object_function);

процедура нахождения наибольшего значения целевой функции при любых значениях управляющих переменных (решается задача на безусловный экстремум: , );

[> Maximize(object_function, { constr});

процедура нахождения наибольшего значения целевой функции при выполнении системы ограничений {constr} (решается задача на условный экстремум: , , );

[> Maximize(object_function, { constr}, assume=nonnegative);

процедура нахождения наибольшего значения целевой функции при выполнении системы ограничений {constr} (решается задача на условный экстремум: , , ).

Здесь object_function – целевая функция , {constr} – список ограничений вида (4.1), параметр assume=nonnegative означает, что задача решается в области неотрицательных значений управляющих переменных.

Процедура NLPSolve во многих случаях описывается одним из следующих способов:

[> NLPSolve(object_function, initialpoint={x[1]=a1, x[2]=a2,

…, x[n]=an}, maximize );

решается задача нелинейного программирования на максимум целевой функции (безусловный максимум): , ;

[> NLPSolve(object_function, initialpoint={x[1]=a1, x[2]=a2,

…, x[n]=an}, maximize, assume=nonnegative);

решается задача нелинейного программирования на максимум целевой функции (безусловный максимум): , ;

[> NLPSolve(object_function, {constr}, initialpoint={x[1]=a1,

x[2]=a2, …, x[n]=an}, maximize );

решается задача нелинейного программирования на максимум целевой функции (условный максимум): , , ;

[> NLPSolve(object_function, {constr}, initialpoint={x[1]=a1,

x[2]=a2, …, x[n]=an}, maximize, assume=nonnegative);

решается задача нелинейного программирования на максимум целевой функции (условный максимум): , , .

Здесь обязательный параметр

initialpoint={x[1]=a1, x[2]=a2, …, x[n]=an}

означает точку начального приближения , где заданные числа.

Пример 4.1. Исследовать на безусловный экстремум функцию

.

Решение. Данная функция подробно исследована в примере 2.3. Приведем текст рабочего листа с применением пакета Optimization.

[> restart; with(Optimization); Digits: =6: [> object_function: =2*x[1]^2-4*x[1]*x[2]+2*x[2]^2-x[1]^4-x[2]^4; [> Maximize(object_function, {x[1]> =-3, x[1]< =3, x[2]> =-3, x[2]< =3}); [> NLPSolve(object_function, initialpoint={x[1]=-1, x[2]=1}, maximize); [> NLPSolve(object_function[1], initialpoint={x[1]=1, x[2]=-1}, maximize);

Пример 4.2. Найти точку условного экстремума функции

,

где переменные удовлетворяют уравнениям связи

Решение. Данная задача была решена в примере 2.4. Приведем текст рабочего листа с применением пакета Optimization.

[> restart; with(Optimization): [> object_function: =x[1]*x[2]*x[3]; constr: ={x[1]+x[2]+x[3]-4=0, x[1]*x[2]+x[1]*x[3]+x[2]*x[3]-5=0}; [> NLPSolve(object_function, constr, initialpoint={x[1]=1, x[2]=2, x[3]=3}, maximize); [> NLPSolve(object_function, constr, initialpoint={x[1]=4, x[2]=6, x[3]=1}, maximize); [> NLPSolve(object_function, constr, initialpoint={x[1]=2, x[2]=2, x[3]=1}, maximize);