Решение. Рабочий лист Maple имеет вид: [> z:=x[1]*x[2]*x[3]; phi[1]:=x[1]+x[2]+x[3]-4; phi[2]:=x[1]*x[2]+x[1]*x[3]+x[2]*x[3]-5; /Находим экстремумы

Рабочий лист Maple имеет вид:

[> z: =x[1]*x[2]*x[3]; phi[1]: =x[1]+x[2]+x[3]-4; phi[2]: =x[1]*x[2]+x[1]*x[3]+x[2]*x[3]-5; /Находим экстремумы функции с помощью команды ехtrema (заметим, что команда выдает нам только значение экстремума функции)/ [> extrema(z, {phi[1], phi[2]}, {x[1], x[2], x[3]}); /С помощью процедуры solve находим точки возможного условного экстремума функции/ [> solve({z=2, phi[1], phi[2]}, {x[1], x[2], x[3]}); [> solve({z=50/27, phi[1], phi[2]}, {x[1], x[2], x[3]}); /Строим функцию Лагранжа . Применяя необходимый признак условного экстремума для функции Лагранжа, находим ее условно-стационарные точки/ [> L: =z+lambda[1]*phi[1]+lambda[2]*phi[2]; [> dLdx1: =diff(L, x[1]); dLdx2: =diff(L, x[2]); dLdx3: =diff(L, x[3]); dLdlambda1: =diff(L, lambda[1]); dLdlambda2: =diff(L, lambda[2]); [> Uslov_Stat_Point: =solve({dLdx1=0, dLdx2=0, dLdx3=0, dLdlambda1=0, dLdlambda2=0}, {x[1], x[2], x[3], lambda[1], lambda[2]}): [> Uslov_Stat_Point[1]; Uslov_Stat_Point[2]; Uslov_Stat_Point[3]; Uslov_Stat_Point[4]; Uslov_Stat_Point[5]; Uslov_Stat_Point[6];

Далее с помощью достаточного признака условного экстремума выясняем, является ли точкой условного экстремума. Для этого построим квадратичную форму второго дифференциала для функции Лагранжа в точке :

,

где приращения переменных связаны соотношениями

или в обозначениях Maple

(связь между найдем, решив соответствующую систему уравнений).

[> d2Ldx1dx1: =diff(L, x[1]$2); d2Ldx2dx2: =diff(L, x[2]$2); d2Ldx3dx3: =diff(L, x[3]$2); d2Ldx1dx2: =diff(L, x[1], x[2]); d2Ldx1dx3: =diff(L, x[1], x[3]); d2Ldx2dx3: =diff(L, x[2], x[3]); [> a[1, 1]: =diff(phi[1], x[1]); a[1, 2]: =diff(phi[1], x[2]); a[1, 3]: =diff(phi[1], x[3]); [> a[2, 1]: =diff(phi[2], x[1]); a[2, 2]: =diff(phi[2], x[2]); a[2, 3]: =diff(phi[2], x[3]); [> eq1: =a[1, 1]*dx[1]+a[1, 2]*dx[2]+a[1, 3]*dx[3]=0; eq2: =a[2, 1]*dx[1]+a[2, 2]*dx[2]+a[2, 3]*dx[3]=0; [> x[1]: =1: x[2]: =1: x[3]: =2: lambda[1]: =1: lambda[2]: =-1: solve({eq1, eq2}, {dx[1], dx[2], dx[3]}); [> Forma_Vtorogo_Porydka: =d2Ldx1dx1*dx[1]*dx[1]+ d2Ldx2dx2*dx[2]*dx[2]+d2Ldx3dx3*dx[3]*dx[3]+ 2*d2Ldx1dx2*dx[1]*dx[2]+2*d2Ldx1dx3*dx[1]*dx[3]+ 2*d2Ldx2dx3*dx[2]*dx[3];

Учитывая, что , получаем . Это означает, что есть точка максимума для функции , где переменные удовлетворяют двум уравнениям связи