Интегральная предельная теорема. Теорема Ляпунова.

Теорема Ляпунова. Рассмотрим n независимых случайных величин Х1, Х2, …, Хn, удовлетворяющих условиям:

1) все величины имеют определенные математические ожидания и конечные дисперсии;

2) ни одна из величин не выделяется резко от остальных по своим значениям.

Тогда при неограниченном возрастании n распределение случайной величины приближается к нормальному закону.

Таким образом, имеем следующую асимптотическую формулу:

, (4.10)

где .

Пример 4.4. Дисперсия каждой из 400 независимых случайных величин равна 25. Найти вероятность того, что абсолютная величина отклонения средней арифметической случайных величин от средней арифметической их математических ожиданий не превысит 0, 5.

Решение. Применим теорему Ляпунова. По условию задачи n = 400, D(Xi) = 25, следовательно, и ε = 0, 5. Подставляя эти данные в формулу получим t = 2 откуда Р = Ф(2) = 0, 9545.