Точные законы распределения случайных величин. Распределение Стьюдента.

Определение. Распределением Стьюдента (или t-распределением) называется распределение случайной величины

где Z — случайная величина, распределенная по стандартному нормальному закону, т.е. N(0; l);

— независимая от Z случайная величина, имеющая -распределение с k степенями свободы.

Плотность вероятности распределения Стьюдента имеет вид:

где Г(у) — гамма- функция Эйлера в точке у.

На рис. 4.17 показана кривая распределения Стьюдента. Как и стандартная нормальная кривая, кривая t-распределения симметрична относительно оси ординат, но по сравнению с нормальной более пологая.

При k → ∞ t-распределение приближается к нормальному. Практически уже при k> 30 можно считать t-распределение приближенно нормальным.

Математическое ожидание случайной величины, имеющей t-распределение, в силу симметрии ее кривой распределения равно нулю, а ее дисперсия равна k/(k—2), т.е. М(t)=0,