Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины

Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями.

Способы задания дискретной случайной величины

1) Для задания дискретной случайной величины достаточно задать семейство вероятностей p_i = P(X = x_i), где или .

2) Задать закон распределения дискретной случайной величины можно в виде функции распределения вероятностей (интегральной функции распределения) F(x), где

F(x) = P(X < x) = P() = .

Замечание: Воспользовались теоремой сложения для несовместных событий.

F(x) = , где p_i = P(X = x_i) = F(x_i+0) - F (x_i).

График функции распределения дискретной случайной величины имеет ступенчатый вид:

3) Ряд распределения или табличный способ задания дискретной случайной величины: первая строка таблицы содержит возможные значения случайной величины, расположенные в порядке возрастания, а вторая – их вероятности:

Сумма вероятностей второй строки таблицы равна единице:

(условие нормировки).

4) Многоугольник распределения или графический способ задания дискретной случайной величины.

12. Случайная величина называется непрерывной, если их возможные значения непрерывно заполняют некоторый промежуток числовой оси.

Свойства функции распределения F(x) = P(X < x).

1: Значения функции распределения принадлежат отрезку [0, 1]:

2: F(x) – неубывающая функция, то есть F(x₂) ≥ F(x₁), если x₂ > x₁.

3: Если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (a, b), то

1) F(x) = 0 при x ≤ a; 2) F(x) = 1 при x ≥ b.

Непрерывную случайную величину можно задать с помощью функции распределения F(x). Можно также задать, используя другую функцию, которую называют плотностью распределения или плотностью вероятности (иногда её называют дифференциальной функцией). Плотностью распределения непрерывной случайной величины Х называют функцию f (x) - первую производную от функции распределения F(x): f(x) = F'(x).

Теорема: Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет значение, принадлежащие интервалу (a, b), равна определённому интегралу от плотности распределения, взятому в пределах от a до b:

.

Геометрически полученный результат можно истолковать так: вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу (a, b), равна площади криволинейной трапеции, ограниченной осью Ox, кривой распределения f(x) и прямыми x = a и x = b.

Зная плотность распределения f(x), можно найти функцию распределения F(x) по формуле .

Свойства плотности распределения

1: Плотность распределения - неотрицательная функция: f(x) ≥ 0.

2: Несобственный интеграл от плотности распределения в пределах от -∞ до ∞ равен единице: .

Замечание: График плотности распределения называют кривой распределения.

Замечание: Плотность распределения непрерывной случайной величины также называют законом распределения.

13. Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности.

Пусть случайная величина X может принимать только значения x_1, x_{2, …} x_n, вероятности которых соответственно равны p_1, p_{2, …} p_n. Тогда математическое ожидание M (X) случайной величины X определяется равенством M (X) = x₁ p_{1 +} x₂ p_{2 + …+} x_n p_n.

Eсли дискретная случайная величина X принимает счетное множество возможных значений, то ,

причем математическое ожидание существует, если ряд в правой части равенства сходится абсолютно.

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины X, возможные значения которой принадлежат отрезку [a, b], называют определенный интеграл

Свойства математического ожидания:

1: Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной

2: Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания

3: Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.

4: Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме их математических ожиданий.

5: М(С)=С, С=const

6: М(Х-М(Х))=0.

Физический смысл мат. ожидания – это центр тяжести возможных значений СВ.

Экономический смысл мат. ожидания заключается в определении наиболее вероятной вариативности значения цены непрерывной СВ. М= , А –максимальное, В – минимальное.

14. Дисперсией (рассеянием) дискретной случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

D(X) = M[X – M(X)]².

Пусть дискретная случайная величина задана рядом распределения

Тогда D(X) = M[X – M(X)]² = [x₁-M(X)]²p₁+ [x₂-M(X)]²p₂+…+ [x_n-M(X)]²p_n.

Таким образом, чтобы найти дисперсию, достаточно вычислить сумму произведений возможных значений квадрата отклонения на их вероятности.

Дисперсией непрерывной случайной величины X, возможные значения которой принадлежат отрезку [a, b], называют определенный интеграл

Свойства дисперсии:

Свойство 1: Дисперсия постоянной величины С равна нулю

Свойство 2: Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат

Свойство3: Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин.

Свойство4: Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин.

15. Типовые распределения дискретных случайных величин

Распределение Бернулли

Случайная величина X, принимающая два значения 1 и 0 с вероятностями (“успеха”) p и (“неуспеха”) q, называется Бернуллиевской: , где k=0, 1.