Биномиальное распределение

Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых событие A может появиться или не появиться. Вероятность наступления события во всех испытаниях постоянна и равна p (следовательно, вероятность непоявления q = 1 - p).

Рассмотрим случайную величину X – число появлений события A в этих испытаниях. Случайная величина X принимает значения 0, 1, 2, …n с вероятностями, вычисленными по формуле Бернулли: , где k = 0, 1, 2, …n.

Биномиальным называют раcпределение вероятностей, определяемое формулой Бернулли.

Пользоваться формулой Бернулли при больших значениях n достаточно трудно, поэтому для подсчета соответствующих вероятностей используют локальную теорему Лапласа, которая позволяет приближенно найти вероятность появления события ровно k раз в n испытаниях, если число испытаний достаточно велико.

Локальная теорема Лапласа: Если вероятность p появления события A в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность того, что событие A появится в n испытаниях ровно k раз, приближенно равна (тем точнее, чем больше n) значению функции , где , .

Интегральная теорема Лапласа: Если вероятность p появления события A в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность того, что событие A появится в n испытаниях от k₁ до k₂ раз, приближенно равна определенному интегралу

, где и .

Другими словами, вероятность того, что событие A появится в n испытаниях от k₁ до k₂ раз, приближенно равна

,

где , и .

Распределение Пуассона

Дискретную случайную величину называют Пуассоновской, если ее закон распределения имеет следующий вид: , где и (постоянное значение).

Геометрическое распределение

Дискретная случайная величина имеет геометрическое распределение, если ее закон распределения имеет следующий вид: P (X = k) = q ^k-1p, где .

Гипергеометрическое распределение

Дискретная случайная величина имеет гипергеометрическое распределение, если ее закон распределения имеет следующий вид:

, где m= 0, 1, 2, …, min (M, n).