Показательный (экспоненциальный) закон распределения.

Нормальный закон распределения наиболее часто встречается на практике. Главная особенность, выделяющая его среди других законов, состоит в том, что он является предельным законом, к которому приближаются другие законы распределения при весьма часто встречающихся типичных условиях(см.гл.6)

Определение. Непрерывная случайная величина Х имеет нормальный закон распределения (закон Гаусса) с параметрами а и σ ², если ее плотность вероятности f (x) имеет вид:

Кривую нормального закона распределения называют нормальной или гауссовой кривой. На рис. 6.5 а), б) показана нормальная кривая с параметрами а и σ ² и график функции распределения.

На рисунке приведены нормальная кривая и график функции распределения случайной величины Х, имеющей нормальный закон. Нормальная кривая симметрична относительно прямой х = а, имеет максимум в точке х = а, равный , т.е.

, и две точки перегиба с ординатой . В выражении плотности нормального распределения параметры обозначены буквами а и которыми мы обозначаем математическое ожидание и дисперсию.

Обратим внимание на то, что нормальная кривая симметрична относительно прямой х = а, имеет максимум в точке х = а, равный , и две точки перегиба х = а σ с ординатами .

Можно заметить, что в выражении плотности нормального закона параметры распределения обозначены буквами а и σ ², которыми мы обозначали математическое ожидание и дисперсию. Такое совпадение не случайно. Рассмотрим теорему, которая устанавливает теоретико-вероятностный смысл параметров нормального закона.

Теорема. Математическое ожидание случайной величины Х, распределенной по нормальному закону, равно параметру а этого закона

а ее дисперсия – параметру σ ², т.е.

Функция распределения нормально распределенной случай­ной величины и ее выражение через функцию Лапласа.

Сложность непосредственного нахождения функции распределения случайной величины, распределенной по нормальному закону, и вероятности ее попадания на некоторый промежуток связана с тем, что интеграл является «неберущимся». В элементарных функциях. Поэтому их выражают через функцию:

.

- функцию (интеграл вероятностей) Лапласа, для которой составлены таблицы. Геометрически функция Лапласа представляет собой площадь под стандартной нормальной кривой на отрезке [-х; х] (рис. 4.8).

Теорема. Функция распределения случайной величины Х, распределенной по нормальному закону, выражается через функцию Лапласа Ф(х) по формуле:

.

Рассмотрим свойства случайной величины, распределенной по нормальному закону:

1. Вероятность попадания случайной величины Х, распределенной по нормальному закону в интервал [x1, x2 ] равна

,

Где ,

2. Вероятность того, что отклонение случайной величины Х, распределенной по нормальному закону, от математического ожидания А не превысит величину (по абсолютной величине), равна

P (|X–a| ≤ e) = 2Ф(e/s) = 2Ф(t), где . Отсюда вытекает так называемое «правило трех сигм»: Если случайная величина Х имеет нормальный закон распределения с параметрами a и σ, то практически достоверно, что ее значения заключены в интервале (a – 3σ; a+ 3σ).

20. Точные законы распределения. Распределение («хи-квадрат»)

Пусть мы имеем n независимых сл.величин , , …, , каждая из которых распределена по закону Гаусса. Сформируем сл.величину по след.правилу: =
Величина также является случайной и непрерывной. Аналитическое выражение функции плотности распределения сл.величины имеет вид