Локальная и интегральная теоремы Муавра- Лапласа.

Локальная теорема Муавра-Лапласа. Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от О и 1, то вероятность Pm, n того, что событие А произойдет т раз в n независимых испытаниях при достаточно большом числе n, приближенно равна

Чем больше n, тем точнее приближенная формула (2.7), называемая локальной формулой Муавра-Лапласа. Приближенные значения вероятности Pm, n ‚ даваемые локальной формулой (2.7), на практике используются как точные при npq порядка двух и более десятков, т.е. при условии npq > 20.(больше или равно)

С в о й с т в а функции f(x) (2.8).

1. Функция f(x) является четной, т.е. f(-x) = f(x)

2. Функция f(x) - монотонно убывающая при положительных значениях х,

причем при х --> оо f(x) -› 0.

Интегральная теорема Муавра-Лапласа.

Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянно и отлично от О и l, то вероятность того, что число m наступления события А в n независимых

испытаниях заключено в пределах от а до b (включительно), при достаточно большом числе пn приближенно равна

Формула (2.10) называется интегральной формулой Муавра-Лапласа. Чем больше n, тем точнее эта формула. При выполнении условия npq > 20.(больше или равно) интегральная формула (2.10), так же как и локальная, дает, как правило, удовлетворительную для практики погрешность вычисления вероятностей.

C в о й с т в а функции Ф(х).

, поскольку величина определенного интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования.

2. Функция Ф(х) монотонно возрастающая, причем х --> оо(бесконечность) Ф(х) --> 1

Рассмотрим с л е д с т в и е интегральной теоремы Муавра-Лапласа.

Следствие. Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и l, то при достаточно большом числе n независимых испытаний вероятность того, что:

а) число m наступлении события А отличается от произведения np не более чем на величину (no абсолютной величине), т.е.

6) частость m/n события А заключена в пределах (включительно)‘, т.е.

B) частость m/n события А отличается от его вероятности р не более чем на величину (по абсолютной величине), т.е.

a) Неравенство ] равносильно двойному неравенству

Поэтому по интегральной формуле (2.10)

б) Неравенство равносильно неравенству при

Заменяя в формулах (2.10), (2.12) величины а и b полученными выражениями, получим доказываемые формулы (2.14)

и (2.15).

в) Неравенство равносильно неравенству

Заменяя в формуле (2.13) ‚ получим доказываемую формулу (2.16).