Решение. 1. Изобразим груз на положительном отрезке оси Ох , начало которой выберем в положении равновесия

1. Изобразим груз на положительном отрезке оси Ох, начало которой выберем в положении равновесия. Длина пружины при равновесии груза отличается от длины недеформированной пружины l _н на величину ее статического удлинения .

2. Движение груза с ускорением происходит под действием двух сил: - силы тяжести груза и - силы упругости пружины. В соответствии с законом Гука величина этой силы определяется размером удлинения пружины :

, (13)

а направление - естественным стремлением пружины вернуться в недеформированное состояние.

3. Для составления дифференциального уравнения воспользуемся вторым законом Ньютона

Проецируя это векторное равенство на выбранную ось, получим уравнение

,

в котором учтено очевидное из рис. равенство

.

В положении равновесия, когда груз находится в покое, сила тяжести уравновешивается силой упругости , следовательно

(тот же результат получится, если в уравнении движения

,

положить х =0 и =0, т.е. значения, соответствующие покою груза в положении статического равновесия). Тогда

.

Перенеся все члены в левую часть и разделив обе части уравнения на m, получим уравнение

.

Введя обозначение , получим стандартное дифференциальное уравнение свободных колебаний материальной точки:

.

4. В соответствии с данными задачи, выбором начала и направления оси координат запишем начальные условия. При t =0

(пружина была недеформирована),

(груз был отпущен без начальной скорости).

5. Решение уравнения запишем в виде

.

При этом является частотой колебаний.

По формуле

вычислим период колебаний:

.

6. Постоянные интегрирования А (амплитуду) и (начальную фазу) определим из начальных условий. Подставив t= 0 и соответствующее значение в уравнение движения (18), получим

.

Для того чтобы использовать информацию о начальной скорости, продифференцируем координату х, определяемую выражением

,

по времени и получим зависимость от времени проекции скорости груза на ось х:

.

Подстановка в это выражение значений времени и скорости, соответствующих начальному моменту, приводит к равенству

.

Решив совместно полученные уравнения относительно неизвестных А и , определим их значения:

,

.

или, с учетом значения ,

.

Таким образом, уравнение движения груза будет иметь вид

или

.

Ответ: .