Разности третьего порядка

Определение:

Вычисления:

Формула для вычисления

В нашем примере

Аналогично получаем разности «n»-ого порядка

В нашем примере:

Общая формула для разности четвёртого порядка:

Линейные обыкновенные разностные уравнения

Линейным разностным уравнением “n” порядка относительно неизвестной сеточной функции называется уравнение вида:

f(k), известные сеточные функции

y (k) – неизвестная функция

На примере уравнения второго порядка:

f(k)=e^k

Используя определения разности второго и первого порядка и преобразуем левую часть уравнения:

Уравнения может быть приведено к уравнению вида (линейное неоднородное разностное уравнение):

1.

-известные функции

y(k)-неизвестная функция

Линейное однородное разностное уравнение имеет вид:

2.

Примечание Порядок уравнения определяется максимальным количеством узлов сетки, входящих в неизвестную функцию y(k+n), начинается с номера(k+1)

Решением разностного уравнения (1) называется сеточная функция у=у(k) , которая удовлетворяет данному уравнению

Пример:

Проверим, что функция

Решение этого уравнения

и подставим в левую часть

Начальные условия для разностных уравнений:

(*)

Общим решением уравнения (1) называется сеточная функция произвольные постоянные, при этом

при н.у (*)

- решение уравнения (1)-это частное решение

В однородном уравнении индексы у разностных функций могут быть произвольным образом смещены на “m” шагов

Например: