Решение линейных разностных однородных уравнений с постоянными коэффициентами

(2)

y(k)- неизвестная функция

Ищем частное решение в виде -неизвестная функция

- неизвестное число

Подставляем теперь в правую часть (2)

характеристическое уравнение

Алгебраическое уравнение «n» порядка относительно переменной q.

Рассмотрим следующие случаи для построения Фундаментальная система решений(ф.д.м.)

1) -различные вещественные корни

Ф.С.Р,

2) Среди вещественных корней есть кратные q_i-кратность r_i

соответствующие частные решения

3) Если

модуль комплексного числа

аргумент комплексного числа

тригометрическая формула комплексного числа

два частных решения

4. Если -корни кратности «r», то получаем «2r» частных решений:

Заметим, что в любом случае Ф.С.Р. состоит из «n» частных решений

Тогда общее решение однородных уравнений:

Пример:

y(k+5)+2y(k+4)-y(k+3)+4y(k+2)-2y(k+1)+4y(k)=0

Составим характеристическое уравнение:

разложим на многочлен

Корни характеристического уравнения

q=1 (кратность 2)

q=-2

Ф.С.Р.

Общее решение: