Решение линейных разностных уравнении с постоянными коэффициентами

Пусть дано уравнение:

(1)

,

И соответствуюшее ему однородное уравнение

(2)

Как уже отмечалось, общее решение уравнения (1) можно представить в виде

где

- общее решение однородного уравнения (2);

- частное решение уравнения (1)

Заметим, что справедливо так же теорема о суперпозиции решений; если

-решение уравнения

-решение уравнения

, то

- решение уравнения

Нахождение частного решения линейного неоднородного разностного уравнения n-го порядка по виду правой части.

(1) Известные числа

b-известно

Вид частного решения:

-неизвестные коэффициенты

Сравним b с корнями характеристического уравнения:

если

появляется множитель

(2)

коэффициенты многочленов b- известно и

- степени многочленов

Обозначим

частное решение имеет вид:

коэффициент многочленов степени «m» нам неизвестены коэффициенты

Если среди корней характеристического уравнения нет комплексных, то r=0.

Пусть среди корней есть комплексные крайности «r»

Найдем

Запишем показательную формулу этого числа

Сравним два числа:

и

если , то r=0

если , то появится множитель

Пусть имеем некоторое линейное неоднородное разностное уравнение второго порядка.

Сначала составим характеристическое уравнение для соответствующего однородного и найдем его корни

Корни

1. Запишем: в=1, m=0 (cстепень ногочлена)

1) если , то

2) , то

1) , то

2. в=5; m=0

1) если , то

2) если , то

3) если , то

3.

Запишем:

1) , то

2) , то

4.

1) , то

2) , то

5.

Запишем:

1 Если то

2)если

6.

1) если , то

2)если

Теперь рассмотрим решение конкретных примеров

Пример 1. Найдём общее решение

Приведем к стандартному виду.

Сделаем сдвиг на m =6 узлов (+6)

1. однородное уравнение

2. характеристическое уравнение:

Ф.С.Р.

Общее решение однородного уравнения

2.

q=b (кратность r=2)

Частное решение ищем в виде:

Вычисляем подставляем в левую часть и приравниваем к правой части

3. общее решение

Пример 2.

y(k-4)-5y(k-5)+6y(k-6)=2^k

Найти частное решение, если начальные условия: y(0)=1 и y(1)=6

Решение:

Сдвигаем на 6 узлов (+6)

1) Решаем однородное уравнение

Характеризирующее уравнение

Ф.С.Р

Общее решение:

2)

Находим и подставляем в левую часть уравнения, а затем приравниваем

Разделим на

3) Общее решение

4) Находим частное решение, если

Ответ:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)