Свойства дифференциала

В этом и следующем параграфах каждую из функций будем считать дифференцируемой при всех рассматриваемых значениях её аргументов.

Дифференциал обладает свойствами, аналогичными свойствам производной:

(С – постоянная величина) (5)

(6)
(7)

(8)

(9)

Формулы (5) – (9) получаются из соответствующих формул для производной умножением обеих частей каждого равенства на .

Вторая производная функции в точке

Пусть функция имеет производную во всех точках интервала . Если дифференцируема в точке , то ее производную называют производной второго порядка в точке и обозначают

Таким образом, по определению

В общем случае производные высших порядков вычисляются по принципу:

Т.е. производные более высоких порядков вычисляются через производные более низкого порядка. Если рассматривать пример 1, то можно заметить, что вторая производная была взята как производная производной первого порядка, а производная третьего порядка выглядит так:

Можно заметить некую закономерность в нахождении производных высшего порядка для и вывести общую формулу для этой функции:

Существуют функции, которые можно дифференцировать бесконечное количество раз.