Определение 1. Асимптотами называются такие прямые, к которым сколь угодно близко приближается график функции.

Определение 2. Прямая называется асимптотой кривой, если расстояние от переменной точки М кривой до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки М от начала координат по какой-либо ветви кривой.

Различают три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные и наклонные.

Вертикальные асимптоты. Прямая x = a является вертикальной асимптотой графика функции f (x), если выполняется хотя бы одно из условий:

или .

(при этом функция f (x) может быть вообще не определена соответственно при и ).

Замечание. Символом

обозначается стремление x к a справа, причём x остаётся больше a, символом

стремление x к a слева, причём x остаётся меньше a.

Из сказанного следует, что вертикальные асимптоты кривой нужно искать в точках разрыва и на границах области определения. График функции, непрерывной на всей числовой прямой, вертикальных асимптот не имеет.

Горизонтальные асимптоты. Если

то y = b – горизонтальная асимптота кривой y = f (x) (правая при , левая при и двусторонняя, если пределы при равны).

Наклонные асимптоты. Существование наклонной асимптоты определяется следующей теоремой.

Теорема. Для того, чтобы кривая y = f (x) имела асимптоту y = kx + b, необходимо и достаточно, чтобы существовали конечные пределы

(1)

или

(2)

В первом случае получается правая наклонная асимптота, во втором – левая. Правая наклонная асимптота изображена на рис. снизу.

При совпадении пределов (1) и (2) прямая y = kx + b является двусторонней асимптотой кривой.

Если хотя бы один из пределов, определяющих асимптоту y = kx + b, не существует, то график функции не имеет наклонной асимптоты (но может иметь вертикальную).

Нетрудно видеть, что горизонтальная асимптота y = b является частным случаем наклонной y = kx + b при k = 0.

Поэтому если в каком-либо направлении кривая имеет горизонтальную асимптоту, то в этом направлении нет наклонной, и наоборот