Громов Илья

Приближенное вычисление с помощью дифференциала, пример.

Приближенные вычисления с применением дифференциала основаны на приближенной замене приращения функции в точке на ее дифференциал.

Если приращение аргумента Δ x мало по абсолютной величине, то .

Для приближенного вычисления значения функции применяется следующая формула:

Таким образом, дифференциал применяется для вычисления приблизительных значений.

Пример

Задание. Вычислить приближенно , заменяя приращение функции ее дифференциалом.

Решение. Рассмотрим функцию . Необходимо вычислить ее значение в точке . Представим данное значение в виде следующей суммы:

Величины и выбираются так, чтобы в точке можно было бы достаточно легко вычислить значение функции и ее производной, а было бы достаточно малой величиной. С учетом этого, делаем вывод, что , то есть , .

Вычислим значение функции в точке :

Далее продифференцируем рассматриваемую функцию и найдем значение :

Тогда

Итак,

Ответ.

Макуха Катя

№40. Формула Тейлора и ряды Макларена

Пусть f(x) – функция непрерывно дифференцируемая (n+1) раз на интервале, содержащем точку а. Тогда функция может быть представлена в виде многочлена n-степени и остаточного члена R_n.

Точка 𝛏 ϵ (x, a)

Если точка а = 0, то получается формула Макларена:

Точка ϴ ϵ (0, 1)

Разложение элементарных функций в ряд Макларена

1) ,

2) ,

3) ,

4)

Фоменко К.

41)Комплексное число — это выражение вида a + bi, где a, b — действительные числа, а i — так называемая мнимая единица, символ, квадрат которого равен –1, то есть i2 = –1. Число a называется действительной частью, а число b — мнимой частью комплексного числа z = a + bi.

Сложение и вычитание происходят по правилу (a + bi) ± (c + di) = (a ± c) + (b ± d)i, а умножение — по правилу (a + bi) · (c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i. Число = a – bi называется комплексно-сопряженным к z = a + bi. Равенство z · = a2 + b2 позволяет понять, как делить одно комплексное число на другое (ненулевое) комплексное число

У комплексных чисел есть удобное и наглядное геометрическое представление: число z = a + bi можно изображать вектором с координатами (a; b) на декартовой плоскости. При этом сумма двух комплексных чисел изображается как сумма соответствующих векторов (которую можно найти по правилу параллелограмма). По теореме Пифагора длина вектора с координатами (a; b) равна .

Эта величина называется модулем комплексного числа z = a + bi и обозначается | z |. Угол, который этот вектор образует с положительным направлением оси абсцисс (отсчитанный против часовой стрелки), называется аргументом комплексного числа z и обозначается Arg z. Аргумент определен не однозначно, а лишь с точностью до прибавления величины, кратной 2 π радиан. Но если вектор длины r образует угол φ с положительным направлением оси абсцисс, то его координаты равны (r · cos φ; r · sin φ). Отсюда получается тригонометрическая форма записи комплексного числа: z = | z | · (cos(Arg z) + i sin(Arg z)). Умножение комплексных чисел в тригонометрической форме выглядит очень просто: z ₁ · z ₂ = | z ₁| · | z ₂| · (cos(Arg z ₁ + Arg z ₂) + i sin(Arg z ₁ + Arg z ₂)) (при умножении двух комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются). Отсюда следуют формулы Муавра: zⁿ = | z | ⁿ · (cos(n · (Arg z)) + i sin(n · (Arg z))). С помощью этих формул легко научиться извлекать корни любой степени из комплексных чисел. Корень n-й степени из числа z — это такое комплексное число w, что wⁿ = z. Видно, что , а , где k может принимать любое значение из множества {0, 1,..., n – 1}. Это означает, что всегда есть ровно n корней n -й степени из комплексного числа (на плоскости они располагаются в вершинах правильного n -угольника).