Задача Эйлера об устойчивости сжатого стержня

Познакомившись с концепцией устойчивости и модельными задачами, мы можем теперь перейти к рассмотрению задач устойчивости упруго сжатого стержня (рис. 9.15).

а) б)

Рис. 9.15

Считаем стержень идеально прямым и сжатым центрально приложенными силами (рис. 9.15, а). Следуя методу Эйлера, будем считать исходное состояние равновесия упругого стержня устойчивым, если после статического приложения и снятия возмущающей силы при постоянных внешних сжимающих силах стержень возвращается к своей исходной прямолинейной форме равновесия. В противном случае состояние равновесия считаем неустойчивым.

Допустим, что стержень остался в изогнутом состоянии (рис. 9.15, б). Отсечём часть стержня на расстоянии z от начала координат, считая угол поворота сечения малой величиной, и составим уравнения равновесия:

(9.20)

Изгибающий момент в поперечном сечении, согласно (6.9), равен:

. (9.21)

Приравнивая выражения моментов (9.20), (9.21), находим:

(9.22)

Дифференцируя (9.22) по , получим:

(9.23)

дифференцируя (9.23) по , приходим к уравнению изогнутой оси потерявшего устойчивость стержня четвёртого порядка:

. (9.24)

Введём обозначение:

. (9.25)

Тогда уравнения (9.22), (9.24) можно записать в виде

(9.26)

(9.27)

Общее решение уравнения (9.26) имеет вид:

(9.28)

В него входят четыре произвольные постоянные .

Общее решение уравнения (9.27):

(9.29)

В него входят четыре произвольные постоянные .

Производные:

(9.30)

Используя (9.30), из (9.21), (9.23) находим:

(9.31)

Постоянные находятся из граничных условий. Для шарнирно закреплённого по концам стержня при и имеем условия:

Для стержня, защемлённого при и свободного от закрепления при , должны выполняться условия:

при ,

при .

Если на незакреплённом конце при действуют внешние момент и поперечная сила , то

При любом закреплении концов стержня мы имеем четыре граничных условия (по два на каждом краю), которые при подстановке в них выражений (9.28), (9.29) приводят к системе четырёх однородных алгебраических уравнений вида:

или

(9.32)

Система уравнений (9.32) имеет отличные от нуля решения только при условии, что её определитель:

откуда, после его раскрытия, находим некоторое числовое значение :

,

где - некоторое число. Возводя обе части полученного равенства в квадрат и используя обозначение (9.25), получаем формулу для критического значения силы (нагрузки бифуркации) Эйлера: