Пределы применимости формулы Эйлера

Формулы Эйлера (9.33), (9.34) получены в предположении упругого поведения материала, т.е. при условии:

(9.45)

где - предел пропорциональности.

При из (9.45) получаем предельное значение гибкости:

(9.46)

разделяющей области упругой и неупругой потерь устойчивости стержня. Для малоуглеродистой стали , получаем:

.

Для алюминиевого сплава Д16Т (дюраль) , находим:

На практике часто элементы конструкций оказываются недостаточно гибкими и . В этих случаях формула Эйлера даёт неверные, завышенные, результаты. Впервые это обнаружил Ходкинсон (Англия) в своих опытах по продольному изгибу сжатых колонн в 1840г. Формула Эйлера подтверждалась для гибких стержней и обнаруживала значительные отклонения для коротких стержней.

Е. Ламарль (Бельгия) в 1845г. первым установил границу применимости формулы Эйлера. Он предложил для стержней малой гибкости принять критическое напряжение , равным пределу текучести В дальнейшем теория устойчивости Эйлера подверглась проверке в опытах И. Боушингера (1887г.), Л. Тетмайера и М. Консидера (1890-1896гг.)

В 1889г. Ф. Энгессер (Германия) предложил вычислить критическое напряжение по формуле Эйлера с заменой модуля упругости на касательный модуль ,

(9.47)

Напряжение, вычисляемое по формуле (9.47), называют критическим касательно-модульным напряжением Ф. Энгессера. Соответствующая формула для касательно-модульной нагрузки имеет вид:

(9.48)

Для построения диаграммы критических напряжений формулу (9.48) следует записать в виде:

(9.49)

Обрабатывая диаграмму сжатия , можно найти зависимость . Тогда для каждого правая часть в (9.49) вычисляется и поэтому становится известной гибкость .

На рис. 9.20 представлены диаграммы сжатия и критических напряжений.

а) б)

Рис. 9.20

В 1895г. Л. Тетмайер и Ф. Ясинский на основе анализа экспериментальных данных предложили для вычисления критических напряжений эмпирическую линейную формулу

(9.50)

где - наибольшее значение гибкости для которой ещё можно считать

Полагая в (9.50) и получаем:

откуда находим формулу для выражения коэффициентов:

(9.51)

На основании (9.51) ниже составлена таблица значений коэффициентов для некоторых материалов.

Таблица 9.1. Таблица значений коэффициентов для некоторых материалов

Материал
Сталь мало- углеродистая				-			266, 7	2/3
Сплав Д16Т (дюраль)	0, 75		-					3, 33
Сталь 30ХГСА (хромансил)	2, 1		-		52, 6			6, 65
Сталь 45				-				0, 7
Дерево (сосна)	0, 1		-					0, 2

Джонсон для материалов с площадкой текучести предложил для критического напряжения параболическую формулу:

(9.52)

Постоянные А, В определяются из условий при при Используя эти условия, находим:

После подстановки этих значений А, В в (9.52) получаем:

(9.53)

Как видно, для построения диаграммы критических напряжений достаточно знать всего две механические характеристики материала .

Формулу (9.53) можно записать в виде

(9.54)

где

­ (9.55)

эмпирический модуль Джонсона. Для его вычисления необходимо знать лишь и . Формула (9.54) записана в форме (9.47). Поэтому на модуль (9.55) можно смотреть как на приближённую аппроксимацию касательного модуля