Устойчивость стержня в процессе нагружения за пределом упругости. Концепция Шенли

В 1946 году американский учёный Ф. Шенли пришёл к мысли о том, что теория приведённого модуля Кармана отвечает лишь частной теории стержня. Он показал на модельной задаче, что в процессе нагружения стержень начнёт изгибаться при касательно-модульной нагрузке Энгессера с разгрузкой на выпуклой стороне (рис. 9.29). При приближении сжимающей силы к приведённо-модульному значению прогиб устремляется к бесконечности. Если учесть при этом возможность появления вторичных пластических деформаций на выпуклой стороне от растяжения, то приведенно-модульная нагрузка не будет достигнута и неустойчивость наступит в предельной точке при нагрузке называемой пределом устойчивости.

Рис. 9.29

В.Г. Зубчаниновым в 1969 г. было показано, что если при некотором значении силы , меньшем касательно-модульного значения , но большем значения соответствующего переходу стержня в пластическое состояние, стержень начнёт изгибаться под действием малой поперечной нагрузки , действие которой прекращается раньше, чем сжимающая сила Р достигает значения , то изгиб стержня ликвидируется, если достаточно мало, либо изгиб не ликвидируется, но стремится уменьшиться, если недостаточно мало. В дальнейшем кривая процесса близка к процессу продолжающегося нагружения в смысле Шенли. Этим было доказано, что касательно-модульная нагрузка Энгессера – Шенли не является опасной для потери устойчивости, т.е. не является критической нагрузкой.

Ф. Шенли показал, что в процессе нагружения идеально прямого стержня он начинает изгибаться при достижении сжимающей силой касательно-модульной нагрузки. В этот момент происходит нарушение единственности процесса деформирования, исключающее понятие неустойчивости, т.к. за этой бифуркацией решения не следует катастрофического развития перемещений, деформаций и напряжений. Неустойчивость наступает в предельной точке, называемой точкой бифуркаии Пуанкаре. Соответствующую нагрузку, мы называем пределом устойчивости. Нельзя путать эту нагрузку с нагрузкой исчерпания несущей способности конструкции вследствие образования пластических шарниров. Процесс выпучивания после достижения силой значения предела устойчивости называем послекритическим. Нагрузка при увеличивающихся перемещениях падает до нагрузки, которую мы назвали нагрузкой надёжности устойчивых состояний :

(9.86)

где - предельное значение касательного модуля на диаграмме сжатия.

На рисунках 9.30 – 9.31 приведены диаграммы сжатия для сплава дюралюминия Д16Т и стали 3 и диаграмма их критических напряжений. В таблицах даны результаты обработки этих диаграмм.

а) диаграмма сжатия для дюралюмина Д16Т.

б) диаграмма сжатия стали Ст.3.

Рис. 9.30

а) диаграмма «критическое напряжение – гибкость»

для дюралюмина Д16Т.

б) диаграмма «критическое напряжение – гибкость» для стали Ст. 3.

Рис. 9.31

Таблица 9.3. Расчётные параметры для дюралюмина Д16Т

	МПа	МПа	МПа
2, 67 3, 0 3, 5 4, 0 4, 5		7, 50 5, 96 4, 34 3, 72 2, 55 2, 05 1, 50 1, 17 0, 97 0, 82 0, 82 0, 82 0, 82	7, 50 6, 65 5, 50 4, 97 3, 81 3.22 2, 50 2, 03 1, 72 1, 48 1, 48 1, 48 1, 48	60, 5 54, 7 47, 0 43, 0 36, 8 33, 0 28, 3 25, 0 22, 6 20, 8 20, 6 20, 2 20, 0	60, 5 51, 6 37, 5 30, 2 26, 5 18, 9 15, 4 15, 3 15, 1 14, 9

Таблица 9.4. Расчётные параметры для стали Ст. 3

	, кг/см2	кг/см2	кг/см2
0, 95 1, 0 1, 1 1, 2 1, 3 1, 4 1, 5 1, 6 1, 8 – 4, 0 4, 5		2, 10 1, 42 0, 99 0, 67 0, 46 0, 26 0, 13 0, 06 0, 02 0, 04 0, 05 0, 05 0, 05 0, 05	2, 10 1, 72 1, 39 1, 05 0, 85 0, 54 0, 33 0, 19 0, 07 0, 13 0, 15 0, 15 0, 15 0, 15	67, 6 47, 5 24, 5 23, 6	81, 8 66, 6 32, 7 23, 1 15, 7 9, 1 12, 7 14, 2 13, 8 13, 6 13, 5