![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Устойчивость стержня, сжатого следящей силой
Рассмотрим задачу о сжатии следящей силой, т.е. силой, которая при выпучивании стержня поворачивается так, что остаётся касательной к изогнутой оси на конце стойки (рис. 9.43). Такая сила может быть создана реактивной струёй ракеты. а) б) Рис. 9.43
Ввиду малости прогибов считаем, что горизонтальная и вертикальная составляющие следящей силы: Общее решение задачи представлено выражением (9.29). Граничные условия задачи имеют вид
где Удовлетворяя решение (9.29) граничным условиям (9.120), получим: Исключая постоянные
Определитель этой системы: Следовательно, система уравнений (9.116) не имеет отличных от нуля решений и потому Таким образом, по методу Эйлера сжатый следящей силой стержень не имеет искривлённых форм равновесия. Эту задачу впервые рассмотрел А.Пфлюгер (Германия) в 1950 г. и пришёл к выводу, что сжатый следящей силой стержень всегда устойчив. Такой вывод оказался неверным, т.к. метод Эйлера и его понятие устойчивости не являются общими и относятся только к задачам с консервативными внешними силами. В данной задаче потеря устойчивости проявляется не в переходе системы в смежное равновесное состояние в смысле Эйлера, а в переходе её в режим движения. Поэтому для исследования устойчивости со следящей неконсервативной силой следует применить динамический метод Лагранжа. Предположим, что на конце стержня сосредоточена масса
где прогиб есть функция
Подставляя (9.123) в (9.122), получим:
Общее решение (9.124) имеет вид:
Граничные условия задачи:
Удовлетворяя решение (9.120) граничным условиям (9.121), получим граничные условия для:
Первые три условия очевидны. Последнее поясним подробнее. После подстановки (9.123) в четвёртое условие (9.126) имеем: откуда, разделяя переменные, получим: где Следовательно,
Полагая в (9.128)
для действительных значений
для Подставляя (9.125) в граничные условия (9.127), находим:
Исключая из (9.131)
Приравнивая определитель системы (9.132) к нулю, получим:
Пока выражение под радикалом в (9.128) положительно Случай
отвечает при которой сжатый стержень получит динамическую бифуркацию. При этой силе колебательный процесс становится неустойчивым. Примером такого беспорядочного процесса могут служить катастрофы при запуске баллистических ракет.
|