Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Устойчивость плоской формы изгиба балок
Балка, изогнутая в своей плоскости, может потерять устойчивость своей плоской формы изгиба при некотором критическом значении внешней нагрузки и выпучиться в сторону (рис. 9.51). При этом поперечное сечение балки повернётся, т.е. балка будет испытывать изгиб с кручением. Рассмотрим свободно опёртую балку длиной , изгибаемую по концам моментом (рис. 9.51, а). В докритическом состоянии дифференциальное уравнение изогнутой оси имеет вид: (9.162) Интегрируя дважды, получим: Рис. 9.49 Так как при , прогиб , то и потому Максимальное значение прогиба: На рис. 9.50 показан график зависимости от значений момента . Кружочек отвечает моменту появления пластических деформаций (пределу пропорциональности ), сплошной кружочек – предельному моменту , при котором происходит образование пластического шарнира и исчерпание несущей способности балки, тонкая линия соответствует упругопластическому поведению балки. Если сечение балки узкое (высокое), как у полосы или двутавра (рис. 9.47), то при некотором критическом значении изгибающего момента произойдет бифуркация решения, и балка получит боковое выпучивание с закручиванием. Рис. 9.50
Пусть угол характеризует наклон изогнутой оси балки в плоскости при боковом отклонении, а - угол закручивания в некотором произвольном сечении . Представим момент в сечении в виде вектора по правилу правого винта (буравчика). Тогда, проецируя на оси , , , отнесённые к сечению (рис. 9.51, г), получим: Следовательно, дифференциальные уравнения изгиба и кручения принимают вид где учтена малость величин , , , . Для прямоугольника: Первое уравнение совпадает с (9.162) и описывает докритический изгиб после точки бифуркации . Дифференцируя третье уравнение по и исключая с помощью второго уравнения производную получаем: (9.163) где (9.164) Общее решение уравнения (9.163) имеет вид (9.165) Удовлетворяя (9.165) граничным условиям: при получим (9.166) Если положим в (9.166) , то получим тривиальное решение, при котором балка не получает бокового выпучивания. Если то откуда и, согласно (9.159), находим: Более трудным оказывается решение задач о плоской форме изгиба при поперечном изгибе. Так, для консольной балки, нагруженной поперечной силой, имеем: При изгибе шарнирно опёртой балки длиной силой Р, приложенной посередине пролёта, имеем: а при действии распределённой нагрузки :
|