Устойчивость упругого стержня в условиях неограниченной ползучести

Ползучесть некоторых полимерных материалов в установившейся стадии является нелинейной и описывается при вязкоупругих деформациях законом:

(9.148)

Тогда постановка задачи об устойчивости на бесконечном интервале времени не имеет смысла. При ограниченной ползучести задача об устойчивости сжатого стержня имеет смысл, в соответствии с концепцией устойчивости, если сжимающая нагрузка больше нагрузки надёжности устойчивых состояний. В противном случае стержень может разрушиться от чрезмерного продольного изгиба вследствие развивающихся деформаций ползучести. Инженерной задачей является определение критического времени, в течение которого стержень способен воспринимать внешнюю нагрузку.

Рассмотрим стержень идеализированного двутаврового поперечного сечения (рис. 9.48), шарнирно опёртый по краям и сжатый силами .

Рис. 9.47

Пусть - длина стержня, площадь каждой полки составляет , и их размеры малы по сравнению с высотой сечения , так что можно считать напряжения в каждой полке распределены равномерно. Площадью тонкой стенки пренебрегаем. Определяем момент инерции поперечного сечения:

Уравнение равновесия части стержня, отсечённого на расстоянии от края (рис. 9.47), записываем в виде:

(9.149)

где и - напряжения в полках соответственно на вогнутой и выпуклой сторонах; – сжимающая сила; – прогиб в сечении.

Деформация в стержне:

.

В частности, для полок двутавра получаем:

(9.150)

Вычитая деформации друг из друга, находим дифференциальное уравнение изогнутой оси стержня:

(9.151)

Введём безразмерные прогиб и осевую координату:

Тогда уравнения равновесия (9.149), (9.151) примут вид

(9.152)

(9.153)

где среднее напряжение в поперечном сечении стержня.

Из уравнений (9.152) найдём:

(9.154)

Дифференцируя (9.152), (9.153) по , получим:

(9.155)

(9.156)

Подставив (9.154), (9.155) в (9.148), найдём для каждой из полок:

(9.157)

Подставив (9.157) в (9.156) и приняв , найдём:

(9.158)

Примем для определения прогиба выражение:

(9.159)

Разложив нелинейный член в (9.158) в ряд Фурье по синусам и приравняв нулю коэффициент при получим:

(9.160)

Здесь

Разделив переменные и проинтегрировав (9.160) от до получим:

(9.161)

Здесь безразмерный мгновенный прогиб, определяемый из решения упругой задачи:

Выражение (9.161) характеризует время, необходимое для достижения заданного прогиба при данном мгновенном прогибе . Критическая ситуация, характеризуемая исчерпанием несущей способности стержня и быстрым нарастанием прогибов, наступает при некотором критическом времени , когда В этом случае из (9.156) следует:

Если , то , т.е. наступает мгновенная потеря устойчивости. При критическое время увеличивается. На рис. 9.48 а, б приведены зависимости безразмерного прогиба от времени для и критического времени от безразмерного параметра нагрузки . В расчётах было принято

При прогибы стержня неограниченно увеличиваются.

При линейной неограниченной ползучести () вместо уравнения (9.158) получаем:

Приняв прогиб в той же форме (9.159), имеем:

а после интегрирования:

Следовательно, при т.е. бесконечно большой прогиб реализуется в течение бесконечно большого времени, иными словами, в условиях неограниченной ползучести конечного, отличного от нуля предела длительной устойчивости не существует.

а) б)

Рис. 9.48