Задача А.Р. Ржаницына об устойчивости сжатого стержня в условиях ограниченной ползучести

Все материалы обладают тремя основными свойствами – упругости, пластичности и вязкости. При длительной эксплуатации конструкции, которая содержит сжатый силами Р стержень, может проявиться свойство вязкости материала в виде его ползучести либо релаксации напряжений.. Эти явления при ограниченной ползучести (для таких материалов, как бетон, полимеры, композиты) описываются законом Кельвина:

, (9.135)

где время релаксации, – модуль продольной упругости, – длительный модуль упругости, и - скорости напряжений и деформаций.

Рассмотрим шарнирно опёртый стержень, сжатый силами (рис. 9.45).

Рис. 9.45

Из условий равновесия отсечённой части стержня имеем , , . Деформация и её скорость при изгибе стержня:

(9.136)

Умножая (9.135) на , интегрируя по площади стержня и используя (9.136), получаем:

(9.137)

где

Подставляя в (9.132) выражения находим:

(9.138)

Примем для прогиба и его скорости выражения

.

Тогда из (9.138) получаем:

(9.139)

где - (9.140)

бифуркационнные нагрузки Л. Эйлера и А.Р. Ржаницына.

Обозначим: . (9.141)

Тогда уравнение (9.139) преобразуется к виду

(9.142)

Разделяя переменные и интегрируя, получаем:

или, после потенцирования,

.

Постоянную находим из начального условия при

В результате получаем:

(9.143)

Если прогиб по методу проб Эйлера на устойчивость, то выражение (9.142) даёт закон поведения прогиба после снятия возмущающей поперечной силы. Возможны три состояния процесса изгиба стержня во времени . При коэффициент , и из (9.143) следует, что при прогиб , т.е. стержень устойчив, т.к. возвращается со временем к своей начальной прямолинейной форме (рис. 9.45).

Рис. 9.46

При имеем , и при прогиб , т.е. стержень неустойчив. При имеем и решение уравнения (9.137) Стержень остаётся в безразличном состоянии на границе между устойчивым и неустойчивым состояниями процесса выпучивания.

Таким образом, мы обнаруживаем что при сжатый стержень обладает свойством длительной устойчивости, т.к. после снятия возмущения остаётся пребывать в малой окрестности исходного невозмущенного состояния при

Реальные стержни обладают начальными несовершенствами своей прямолинейной геометрической формы. Пусть – начальный технологический прогиб оси стержня. Будем смотреть на него как на малый возмущающий фактор. Тогда кривизна изогнутой оси стержня в процессе его деформирования:

а относительные деформации и напряжения:

Умножим вновь (9.122) на и, интегрируя, получим уравнение

(9.144)

Полагая в (9.144):

и учитывая обозначение (9.141), приходим к уравнению

(9.145)

Решение уравнения (9.140) имеет вид

(9.146)

Начальным условием при для решения (9.146) является статическое решение (9.106) задачи о выпучивании упругого стержня с начальным прогибом:

.

Удовлетворяя решение (9.141) этому условию, получим:

и общее решение:

(9.147)

При имеем и поэтому из (9.147) при получаем, что прогиб ограничен и стремится к значению (рис. 9.46):

.

При имеем и поэтому из (9.141) при получаем .

Рис. 9.46

Процесс выпучивания во времени неограничен и, следовательно, неустойчив (рис. 9.47).

При коэффициент , и из уравнения (9.140) получаем:

При нагрузке впервые процесс выпучивания стержня из материала с ограниченной ползучестью становится неустойчивым. Поэтому названа длительной критической нагрузкой А.Р. Ржаницына.