![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Устойчивость сжатого стержня за пределом упругости. Формула Кармана
Теория устойчивости сжатого стержня за пределом упругости окончательно была построена Т. Карманом (Германия) в 1910 году. Он учёл, что нагрузка на вогнутой стороне стержня и разгрузка на выпуклой стороне при выпучивании происходят по различным законам (рис. 9.25): - при догрузке - при разгрузке Нейтральная ось дополнительных деформаций не совпадает с центральной осью, как при упругом изгибе, и определяется координатой
Эп. Рис. 9.25 Рис. 9.26
Величина откуда следует: Следовательно, выражение (9.65) можно записать в виде
Вычислим с учётом (9.65) дополнительные нормальную силу откуда находим
где Так как то, исключая
где
Величина К называется приведённым модулем Кармана–Ильюшина. С другой стороны, из уравнений равновесия отсечённой части стержня (рис. 9.16, б) имеем:
Сравнивая (6.66), (9.70), получим:
Дифференцируя дважды уравнение (9.72), находим:
Применяя к исследованию устойчивости стержня метод проб, будем считать dP = 0 при сколь угодно малом выпучивании стержня. Тогда из (9.68), (9.71) следует уравнение
из которого можно найти границу раздела зон
где
Таким образом, задача о потере устойчивости за пределом упругости свелась к решению уравнения (9.75), которое совпадает с уравнением (9.27) для упругой задачи Эйлера. Отличие задач заключается в различии выражений (9.27) и (9.76) для величины
Формула (9.77) определяет бифуркационную нагрузку Кармана. Её также называют приведенно-модульной нагрузкой. Формула для бифуркационного значения напряжения имеет вид: -
Так как К зависит от
Задавая а) Рассмотрим случай идеализированного двутавра (рис. 9.27, а). Геометрические характеристики сечения: Уравнение (9.74) принимает вид откуда находим границу раздела зон: а) б) Рис. 9.27
Согласно соотношению (9.69) получим:
б) В случае прямоугольного сечения (рис. 9.27, б) Уравнение (9.74) принимает вид откуда находим границу раздела зон: Приведённый модуль
Из (9.74), (9.80) видно, что приведённый модуль явно зависит от Приведём более простой вывод формулы Кармана для приведенно-модульной критической силы. Обозначим радиус кривизны нейтрального слоя буквой а) б) в) Рис. 9.28
Тогда дополнительные напряжения: где принято Дополнительные нормальная сила и изгибающий момент:
где статические моменты и моменты инерции площадей F1, F2 для зон пластической догрузки и упругой разгрузки;
приведённый модуль Кармана. Из уравнения равновесия отсечённой части потерявшего устойчивость стержня имеем: Сравнивая с (9.82), получаем дифференциальные уравнения: После двукратного дифференцирования первого уравнения получаем:
где
Для случая идеализированного двутавра (рис. 9.27, а) второе уравнение (9.84) с учётом: принимает вид откуда Следовательно, Аналогично можно получить выражение приведённого модуля для стержней прямоугольного сечения. Т. Карман не только создал теорию приведённого модуля, но и проверил её тщательно поставленными экспериментами. Опытные значения пределов устойчивости легли между кривыми, рассчитанными по теории приведённого модуля и теории продольного выпучивания сжатых стержней для эксцентриситета прилагаемых сжимающих сил, равно 0, 005h где h – толщина прямоугольного поперечного сечения стержня. Исследования Энгессера, Кармана, Ясинского по созданию теории устойчивости сжатых стержней за пределом упругости оставили глубокий след в истории её развития.
|