Теорема Банаха.

Пусть - банахово пространство. Рассмотрим уравнение

, (1)

где - (в общем случае) нелинейный оператор. Если является решением уравнения (1), т.е. справедливо равенство , то называется неподвижной точкой (элементом) оператора .

Утверждения о существовании неподвижных точек составляют специальный раздел функционального анализа, который имеет многочисленные приложения, в том числе, для доказательства существования решения краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

Пусть . Говорят, что оператор на множестве удовлетворяет условию Липшица с постоянной , если для любых выполняется неравенство

.

Очевидно, что такой оператор является непрерывным. Если 1, то оператор осуществляет сжимающееся отображение множества (является оператором сжатия).

Теорема (Банах). Пусть непустое замкнутое множество и оператор удовлетворяет условию Липшица с постоянной 1. Тогда существует единственная неподвижная точка оператора , принадлежащая .

Доказательство. Докажем, что неподвижную точку можно найти как предел последовательности приближения. Произвольно зафиксируем и построим последовательность следующим образом: положим , , .

Сначала докажем, что является фундаментальной последовательностью. Пусть . Тогда

,

Учитывая, что 1, оценим ()

.

Следовательно, . Из этого неравенства и следует, что - фундаментальная последовательность. В силу замкнутости последовательность имеет предел , .

Рассмотрим равенство и перейдем в нем к пределу при . Учитывая непрерывность (из условия Липшица) оператора , получим

.

Это и означает, что - неподвижная точка оператора .

Докажем единственность неподвижной точки. Доказательство проведем «от противного». Пусть существует две неподвижные точки . Тогда

.

Отсюда получим, что , что противоречит условию теоремы. Полученное противоречие, доказывает, что неподвижная точка единственна. Теорема доказана.

Подчеркнем, что построенные в доказательстве приближения стремятся к единственной неподвижной точке независимо от выбора «начального приближения» . Тот или иной выбор влияет только на «скорость» сходимости в качестве коэффициента. При этом сама сходимость определяется постоянной Липшица: чем меньше константа, тем быстрее сходится приближение с порядком сходимости . Отметим также, что в условиях теоремы Банаха выполнение условия существенно. Теорема Банаха позволяет доказать не только существование неподвижной точки, но устанавливает факт её единственности.

В качестве примера применения теоремы Банаха рассмотрим задачу Коши для обыкновенного дифференциального уравнения.

(1)

где - непрерывная функция двух переменных.

Искомое решение предполагается непрерывно дифференцируемой функцией, определенной на .

Рассмотрим интегральное уравнение

(2)

в пространстве . Если существует решение уравнения (2), то оно является и решением задачи Коши (1). Действительно, при выполнении (2) функция непрерывна и непрерывно дифференцируема. Продифференцируем (2) и получим, что решение уравнения (2) удовлетворяет и дифференциальному уравнению задачи (1). Кроме того, при выполняется и начальное условие.

Представим уравнение (2) в виде операторного уравнения

,

где , полагая

.

Для доказательства существования единственности решения задачи Коши проверим, что оператор удовлетворяет условиям теоремы Банаха на всем пространстве, т.е. . На пространстве далее рассматривается макс-норма.

Теорема (существование единственности решения задачи Коши). Пусть выполнены условия

1) по второму аргументу удовлетворяет условию Липшица с константой , т.е.

,

2) .

Тогда существует решение задачи коши (1). Это решение можно найти методом последовательных приближений интегрального уравнения (2).

Доказательство. Достаточно проверить, что оператор при произвольно фиксированном удовлетворяет условию Липшица с константой меньше единицы. Имеем

Перейдем в этом неравенстве к максимуму по и получим:

Так как по условию теоремы, то оператор является сжимающим. По теореме Банаха имеет единственную неподвижную точку, которая будет решением интегрального уравнения (2). Теорема доказана.