Действия над матрицами

Рассмотрим две матрицы одинаковых размеров m n: , . Обозначим через I множество, состоящее из первых m чисел натурального ряда, т.е.

I = {1, 2,..., m }.

Матрицы А и В называются равными, если

,

т.e. в которых равны элементы, стоящие на одинаковых местах.

Обозначается: А = В.

Суммой матриц А и В называется матрица , элементы которой определяются по формулам:

т.e. элементы матрицы С равнысумме соответствующих элементов матриц А и В.

Обозначается: С = А + В.

Произведением матрицы А на действительное число называется матрица , элементы которой вычисляются по формуле:

т.е. каждый элемент матрицы А умножается на число .

Обозначается: .

Пусть теперь , , т.е. число столбцов матрицы А совпадает с числом строк матрицы В.

Произведением матрицы А на матрицу В называется матрица размера m n , элементы которой вычисляются по формуле:

,

т.е. элемент матрицы С с номерами i и j равен сумме попарных произведений элементов i -й строки матрицы А на соответствующие элементы j -го столбца матрицы В (правило «строка на столбец»). Обозначается: .

Например, если то элементы матрицы будут равны:

,

таким образом

.

Произведение матриц не коммутативно (не перестановочно)!, т.е., вообще говоря, . Но, если все-таки , то матрицы А и В называются перестановочными.

Квадратная матрица, у которой элементы, стоящие на главной диагонали равны 1, а все остальные равны 0, называется единичной и обозначается: Е.

Единичная матрица перестановочна с любой квадратной матрицей порядка n, так как нетрудно убедиться, что .

Определим понятие обратной матрицы. Оно определяется только для квадратных матриц. Далее А – квадратная матрица порядка n.

Матрица называется обратной к матрице А, если

Очевидно, если – матрица обратная к А, то матрица А является обратной к (вытекает из определения, оно симметрично относительно матриц А и ), т.е. = А. Поэтому матрицы А и называются взаимно обратными.

Матрица называется невырожденной, если , и вырожденной в противном случае.

Для вырожденной матрицы обратной не существует! Получим формулу для нахождения обратной матрицы.

Транспонированная матрица, составленная из алгебраических дополнений к элементам матрицы А, называется присоединенной и обозначается: А^v. Таким образом, по определению

Найдем произведения . Пусть , тогда

По определению произведения матриц, элементы матрицы С вычисляются по формуле:

Здесь, если i = j, то по теореме о разложении определителя по строке (формула (1.6))

если i j, то по теореме аннулирования (формула (1.7))

Таким образом, матрица С имеет вид:

.

Аналогично можно показать, что = Е, следовательно, выполняются равенства: = = Е. Если А – невырожденная матрица, т.е. , то эти равенства можно переписать в виде:

.

Откуда, по определению обратной матрицы, получаем:

.

Например: если то